2024年数学高考一轮复习函数的性质试卷.pdfVIP

3.2函数的性质（精讲）

一．函数单调性的定义

1.单调函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，x∈D，当x＜x时

1212

条

都有f(x)f(x)都有f(x)f(x)

1212

那么就称函数f(x)在区间D上单调递增那么就称函数f(x)在区间D上单调递减

结论

当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它

增函数是减函数

图示

2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区

间D叫做y＝f(x)的单调区间．

3.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相

同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．

二．函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)∀x∈I，都有f(x)≤M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；

条

(2)∃x∈I，使得f(x)＝M(2)∃x∈I，使得f(x)＝M

结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值

三．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数f(－x)＝f(x)关于y轴对称

一般地，设函数f(x)的定义域为I，

如果∀x∈I，都有－x∈I，且

奇函数f(－x)＝－f(x)关于原点对称

四．函数的周期性

1.周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称

函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

五．函数的对称性

1.对称性：若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对

称．

2.对称中心：f(－x＋b)＋f(x＋b)＝2a，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,a)中心对称．

一．判断函数单调性常用的方法

1.定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论．

2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)．

4.性质法：

①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性进行判断；

②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根

据复合函数“同增异减”的规则进行判断．

5．在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．

6．