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7.4空间距离（精讲）
一．点到线的距离
1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段
的长度叫做这个点到该平面的距离；
设＝，直线l的一个单位方向向量为，则向量在直线l上的投影向量＝，在Rt△APQ中，
由勾股定理，得PQ＝22＝
||-||
二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.
三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α
的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向
量的长度.因此
四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条
直线到这个平面的距离；
五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，
我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
一．求点面距常见方法
方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离
方法二：等体积法
方法三：向量法
二.向量法求两异面直线的距离
分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两
条异面直线间的距离就是在方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式求解.
考点一点线距
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【例】（春江西南昌）如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足
，则到的距离为（）
A．B．
C．D．
D
【答案】
A
【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，
，
且为锐角，，
点到的距离.
故选：D.
1-22023··
【例】（江苏徐州校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点
，则点到直线的距离为（）
A．B．1C．D．
D
【答案】
【解析】根据题意，直线的方程为，
即，则直线的方向向量为，又因为过点，
，，则，
故在上的射影为：，
故点到直线的距离为：.
故选：D.
【一隅三反】
12023··
道路桥梁工程师持证人
职业建造师，造价工程师、安全工程师、工程概预算精通，从事相关工作10余年，实际与理论结合。
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