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从“百僧百馍”问题看教学中的数学建模思想渗透

一、引言

(1)数学建模是现代教育中不可或缺的一部分，它将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解，为解决实际问题提供科学依据。在众多数学问题中，百僧百馍问题因其直观性和趣味性，被广泛用于教学实践中。该问题起源于我国古代，其背景是僧侣们分食馒头的故事，通过这个问题的解决，可以让学生深刻理解数学建模的基本思想和方法。

(2)百僧百馍问题具体描述如下：有100个馒头需要分给100个僧侣，每个僧侣分到的馒头数要相同。如何分配才能使得每个僧侣分到的馒头数既合理又满足条件？这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学建模思想。在教学过程中，教师可以引导学生从实际问题出发，通过建立数学模型、进行数学计算和验证模型的有效性，最终找到解决方案。

(3)在实际教学中，百僧百馍问题可以激发学生的学习兴趣，培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。通过对这个问题的研究，学生可以了解到数学建模的步骤：首先，明确问题的背景和目标；其次，根据问题特点建立相应的数学模型；然后，利用数学方法对模型进行求解；最后，对求解结果进行验证和分析。这种教学方式有助于学生将数学知识应用于实际生活中，提高他们的综合素质。同时，百僧百馍问题也为教师提供了丰富的教学素材，有助于他们在教学中更好地引导学生掌握数学建模的方法。

二、百僧百馍问题的背景与描述

(1)百僧百馍问题源自中国古代的一个有趣故事。相传在古代，有一位高僧在寺庙中主持了一场特殊的分配仪式。当时，寺庙中有100个僧侣，他们需要共同分享100个馒头。高僧提出一个要求，即每个僧侣分到的馒头数量必须相等。这个看似简单的分配问题，却让在场的僧侣们陷入了沉思。这个问题不仅考验着他们的智慧，也成为了后世数学教育中一个经典的案例。

(2)百僧百馍问题的具体描述是这样的：有100个馒头，需要分给100个僧侣，每个僧侣分到的馒头数量必须相同。这个问题没有给出任何额外的条件，只要求每个僧侣分到的馒头数量一致。这个问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理。它要求学生不仅要找到解决方案，还要理解背后的数学逻辑，从而培养他们的逻辑思维能力和数学建模能力。

(3)在数学建模的框架下，百僧百馍问题可以被转化为一个数学问题。学生需要通过数学方法来寻找解决方案。这个问题通常出现在初等数学的教学中，旨在帮助学生理解分数、除法、整数分解等基本数学概念。通过解决百僧百馍问题，学生可以学习到如何将实际问题转化为数学模型，并运用数学知识去分析和解决问题。这种教学方式不仅能够提高学生的数学素养，还能够激发他们对数学的兴趣。

三、数学建模思想在问题中的应用

(1)在百僧百馍问题中，数学建模思想的应用主要体现在对现实问题的抽象和数学化处理上。首先，将问题中的馒头数量和僧侣数量这两个基本要素抽象为数学中的数量关系，即馒头总数等于僧侣总数。这一步是数学建模的基础，它要求我们对问题进行精确描述，以便后续的数学操作。接着，为了找到每个僧侣应分得的馒头数量，我们需要建立数学模型。这个模型可以是一个简单的算术表达式，如“馒头总数除以僧侣总数”。通过这个模型，我们可以计算出每个僧侣应分得的馒头数量。这一过程中，数学建模思想的核心在于将实际问题转化为可操作的数学问题，从而为寻找解决方案奠定基础。

(2)在应用数学建模思想解决百僧百馍问题时，我们需要考虑如何处理实际问题中的不确定性。例如，在实际分配过程中，可能存在僧侣对馒头大小、形状等有不同偏好，或者馒头本身存在一定的差异。为了简化问题，我们通常假设所有馒头在大小、形状等方面完全相同。这种假设有助于我们将问题简化为一个纯粹的数学问题，从而更容易找到解决方案。此外，数学建模思想还要求我们对问题进行分解，将其分解为若干个相互关联的子问题。以百僧百馍问题为例，我们可以将其分解为“如何确定每个僧侣应分得的馒头数量”和“如何确保每个僧侣分得的馒头数量相等”两个子问题。通过解决这些子问题，我们可以逐步找到整个问题的解决方案。

(3)在数学建模过程中，验证和优化模型是至关重要的环节。以百僧百馍问题为例，一旦我们找到了每个僧侣应分得的馒头数量，就需要验证这个方案是否满足实际问题中的所有条件。这包括检查每个僧侣分得的馒头数量是否相等、馒头总数是否为100个等。如果验证结果不满足要求，我们需要对模型进行优化，直至找到满足所有条件的解决方案。此外，数学建模思想还要求我们在解决实际问题的过程中不断反思和总结，以提升我们的数学建模能力。通过不断实践和反思，我们可以更好地理解数学建模的思想和方法，从而在解决类似问题时更加得心应手。在这个过程中，百僧百馍问题为我们提供了一个宝贵的实践案例，有助于我们深入理解数学建模在解决问题中的应用价值。

四、教学中的数学建模思想渗透分析

(1)教学