药学高数4(函数的连续性).ppt

第五节函数的连续性一、函数的连续性二、初等函数的连续性三、函数的间断点四、闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的。函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映。连续变化的曲线对应的函数为连续函数0xy为函数在点的增量.设函数在点附近有定义,把附近的点记为,则称为自变量由变到的增量(increment)。定义1-14设函数y=f(x)在点x0及其某邻域内有定义，如果当自变量的增量?x=x-x0趋向于零时，对应的函数的增量?y=f(x0+?x)-f(x0)也趋向于零，即则称函数y=f(x)在点x0处是连续的(continuous)，称x0是函数的连续点(continuouspoint)。注意故定义中1-14极限式等价于定义1-15设函数y=f(x)在点x0及其某邻域内有定1义，如果函数f(x)当x?x0时的极限存在，且等于它2在点x0处的函数值f(x0)，即3则称函数y=f(x)在点x0处连续。4设函数f(x)在区间a＜x≤b内有定义，如果左极5限存在且等于f(b)，即6则称函数f(x)在点b处左连续。7设函数f(x)在区间a≤x＜b内有定义，如果右极限存在且等于f(a)，即则称函数f(x)在点a处右连续。显然即：连续函数与连续区间1若函数在开区间（a,b）内的每一个点都连续，则2称函数在开区间（a,b）内连续。3如果函数在开区间（a,b）内连续，且在端点a处4右连续，在端点b处左连续，则称函数在闭区间[a,b]5上连续。6连续函数(continuousfunction)的图形是一条连续不7间断的曲线。8例1-32讨论函数在x=0处的连续性。解显然f(x)在x=0处有定义，且f(0)=0（无穷小与有界函数的乘积是无穷小），从而，所以f(x)在x=0处连续。初等函数的连续性例1-33证明对任意的x0，有（其中都是常数）f(x)定义域内的点，则定理1-7一切初等函数在其定义区间内都是连续的。是初等函数，其定义域为无穷区间（－∞，+∞），则例如有理整函数（即多项式函数）求初等函数当x?x0时的极限：如果x0是初等函数定理1-6基本初等函数在其定义域内是连续的。例如有理分式函数其中P(x),Q(x)都是多项式，只要x0使得分母Q(x0)≠0,x0就是初等函数F(x)定义域内的点，就可以把x0直接代入分母及分子计算例1-34求解例1-35求解在x=0处没有定义，不能把0直接代入计算。先用有理化的方法把分式改写成从而定理1-8设函数u=g(x)当x?x0时的极限存在且等于a，即。而函数y=f(u)在点u=a处连续，那么复合函数y=f[g(x)]当x?x0时的极限存在且等于f(a)，即证明定理条件中的函数y=f(u)在点u=a处连续，从而有再考虑到，于是有或所以在满足定理1-8条件的情形下，求复合函数f[g(x)]的极限时：（1）函数f符号与极限号lim可以交换次序；（2