2024年第四届丘成桐女子中学生数学竞赛试题（含解析）.docxVIP

2024丘成桐女子数学竞赛试题

题1.证明：对任意n阶正定是对称矩阵A,B,均有det(A+B)≥VdetA+VdetB,并说明等号成立的条件.

求,题2.已知

求

,

题3.GL(n,C)为所有n级可逆复矩阵构成的集合.Tn为其中所有的上三角矩阵构成的子集.矩阵P∈GL(n,C),定义集合PTnP-1={PAP-1|A∈Tn}.求

题4.计算级数：

题5.f:M?(R)→R为连续函数，满足f(A)=f(A2)对任意A∈M?(R)成立，求所有这样的f.

(1)求所有SL(2,Z)

(2)求所有的z∈C,3个元素.

中的有限阶元的阶的所有可能值；

使得1且AeSLe.2),=}中至少有

2024丘成桐女子数学竞赛参考解析

题1.证明：对任意n阶正定对称矩阵A,B,均有√det(说明等号成立的条件.

【解析】由实对称正定矩阵的性质可知，存在实对称正定矩阵Q使得

X=Q-1BQ-1,易知其为正定对称矩阵，且于是要证的不等式等价于det(In+X)≥1+det(X).

设X的特征值(可重)为x1,…,cn0,则只需证明

.注意到

.

并

并记

所以原不等式成立，且等号成立当且仅当x?=…=Tn,即B=kA(k0).

题2.已知,求

【解析】

题3.GL(n,C)为所有n级可逆复矩阵构成的集合.Tn为其中所有的上三角矩阵构成的子集.矩阵P∈GL(n,C),定义集合PTnP-1={PAP-1|A∈Tn}.求

设,则对P∈GL(n,C),X∈PTnP-1,即P-1XP∈Tn.取单位阵P=In,可得X∈Tn.我们下面说明X必为对角矩阵：

若存在1≤ij≤n,使得Xi?≠0,设E,为恰(i,j)元素1,其余元素0的矩阵，令

P=In+Eij+Eji-Ei;-Ejj,

则P-1=P.注意到P-1Y表示交换Y的i,j行，YP表示交换Y的i,j列.

因此，P-1XP的(j,i)元素为Xj≠0,从而P-1XP∈Tn,矛盾.若X的某两个对角元素不相等，不妨设Xii≠Xjj.令P=In+Eij,则P-1=In-Eij.注意到P-1Y表示Y

的第i行减去第j行，YP表示Y的第j列加上第i列，因此p-1XP=X+(Xi;-X;s)Ej.

又因为,这说明P-1XP是对角阵，矛盾.综上所述，,反之亦然，

题4.计算级数：

【解析】考虑

两个幂级数都在(-1,1)内闭一致收敛.则：

注意

题5.f:M?(R)→R为连续函数，满足f(A)=f(A2)对任意A∈M?(R)成立，求所有

这样的f.

【解析】若A的谱半径p(A)1,则A→O?,从而

f(A)=f(A2)=f(A?)=…=f(A2)→f(O?).则f(A)=f(O?).

若λ?,A?为实数，则

若λi,A2为一对共轭虚根，记A?=re,A2=re-i(r0,θ∈(0,2π)),则

对不可逆的可相似对角化矩阵A≠O?,设,则

一般情形下，A不可相似对角化表明,这是Jordan标准型.此时

可相似对角化，于是

综上所述，f是所有常数函数.

(1)求所有SL(2,Z)中的有限阶元的阶的所有可能值；

(2)求所有的z∈C,使得且3个元素.

中至少有

【解析】(1)设有限阶元A∈SL(2,Z).将A视为SL(2,C)的元素.对A的某个特征值λ,特征向量x,Ax=λx,Ax=Ax.

于是若A有限阶，则A=I?,Xx=Ax=I?x=x,可得λn=1.不妨设λ=e?,由于det(A)=1,可得A另一个特征值为e-i?.

于是tr(A)=e?+e-i?=2cosθ,由题意这是整数.从而2cosθ=-2,-1,0,1,2,θ=0,,π.

,可以取2,3,4,6.A=-I?给出阶为2的例子；给出阶为3的例子；

给出阶为4的例子；给出阶为6的例子.综上，阶的所有可能取值为1,2,3,4,6.

(2)对

,则

考虑

=fA?A?(z)

对z∈C,记C(z)={A∈SL(2,Z):fA(z)=z}.则C(z)是SL(2,Z)的一个子群.

设z是一个满足|C(2)|≥3的复数.显然{I?,-I?}cC(z),

故不妨设存

),A≠I?,-I?