精品解析：天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）.docxVIP

2023-2024（2）高一年级数学试卷（100分钟）

一?单选题（共36分）

1.若为实数（为虚数单位），则实数（）

A. B.2 C. D.1

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的运算结合虚部为零可得.

【详解】，

因为为实数，故，得．

故选：D．

2.下列说法错误的是（??）

A

B.，是单位向量，则

C.若，则

D.两个相同的向量的模相等

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，是单位向量，则，故B正确；

对于C，若，则不能比较大小，故C错误；

对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确.

故选：C.

3.已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（）

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】利用直线与平面的位置关系的判定和性质即可选出正确答案.

【详解】选项A：根据给定条件有或；

选项B：根据给定条件有或；

选项C：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m在α内；

选项D：因为，所以存在直线使得，

又因为，所以，因为，所以.

故选：D.

4.在中，若，则的值等于（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理可得,则可设,,,再利用余弦定理求解即可

【详解】由正弦定理可知,

不妨设,,,

则由余弦定理可得,

故选:D

【点睛】本题考查由正弦定理处理边角关系,考查利用余弦定理解三角形

5.已知平行四边形，满足，则四边形一定为（）．

A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形

【答案】B

【解析】

【分析】根据数量积的运算律得到，从而得到，即可判断.

【详解】因为，所以，

即，

所以，即，即，

所以平行四边形为矩形.

故选：B

6.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用正四面体的结构特征及其内切球、外接球半径关系、空间几何体的体积公式计算即可.

【详解】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，

设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，四面体各面面积为S，

则由四面体的体积得，

所以四面体的内切球和外接球的体积之比为，

故选:A.

7.在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合正方体的结构特征找到直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.

【详解】连接，在正方体中，平面，

棱的中点为，则平面，

而平面，故，

则即为直线与平面所成角，

设正方体棱长为2，则，

则，

故，

故选：C

8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（）

A.钝角三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由和正弦定理可得，即，又得，即可判断是等边三角形

【详解】由及正弦定理可得，得，

故（舍去）或，即，

又，所以，

因，，得，故，

故是等边三角形，

故选：B

9.如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解.

【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比，

故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.

点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.

平面显然有法向量，

，

设为平面的法向量，

则该向量与和均垂直，

所以，从而

令，解得，

故符合条件，

显然二面角为锐角，

因此所求余弦值为.

故选：D.

二?填空题（共24分）

10.设是虚数单位，复数，则______.

【答案】5

【解析】

【分析】根据复数乘法运算及共轭复数的概念，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：.

11.如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为__________

【答案】

【解析】

【分析】借助等角定理作的平行线可得等于与所成角，再结合边长，借助余弦定理计算即可得.

【详解】取中点，连接、、、，

则且，，

有，故，则，

由，故与所成角等于，

又，

即，即与所成角为.

故答案为：.

12.在中，，则______________.

【答案】

【解析】

【分析】先由确定，再根据三角