云南大学广义相对论基础第2章广义相对论的数学基础.pptVIP

*广义相对论_数学基础*对于四维时空，独立解的最大数目和对称的最大数目都是10。这与平直空间的对称数目一致，它正好具有10个对称：四个独立的平移方向，三个独立的转动方向，以及三个独立的Lorentz变换的速度方向。弯曲时空对称的数目不大于平直时空相应的数目，因而弯曲时空具有不多于10个的对称。一个具有10个对称的时空称为最大对称的。除了平直时空之外，仅有的最大对称的时空是deSitter（德西特）时空。对称导致守恒律。按照Noether（诺特）定理，一个物理系统的每一个连续对称都对应一个守恒律。例如，在平直时空中，空间平移的对称意味着动量守恒，时间平移的对称意味着能量守恒，转动的对称意味着角动量守恒。在一个一般的、弯曲的时空中，我们可以在Killing矢量的基础上，用公式来表示一个粒子运动的守恒律。证明：如果是一个Killing矢量，则对于一个沿测地线运动的粒子，此Killing矢量和粒子的动量的标量积是一个常数（3.7.20）*广义相对论_数学基础*为证明上面这个守恒定律，计算沿测地线的导数：但按照测地线方程和协变导数的定义，有以及把这些表达式代人式（3.7.20），包含Christoffel符号的两项相抵消，则由于Killing方程，此式的结果为零。（3.7.21）（3.7.22）*广义相对论_数学基础*注意，如果我们采用坐标使得并且的其他分量为零，则化为。这表明，与坐标分量共轭的动量分量为零。如果时空几何与时间无关，即不依赖于，则是相应的Killing矢量，而且守恒定理式（3.7.20）告诉我们是个不变量。这就是能量守恒定律。这个守恒定律也适用于在弯曲时空中运动的光子。如果时空几何是与时间无关的，光子的“能量”就是不变的。后面将看到，光子的红移可以从这一守恒定律推断出来。Killing矢量场的概念的作用是刻画时空结构的几何对称性质。*三、黎曼几何03/12/09广义相对论_数学基础*在仿射空间中引入度规场和不变距离，就构成了黎曼空间。3.1黎曼空间和度规空间时空相邻两点的距离其中为度规张量。令为对称张量，即在仿射空间中确立了度规场后，空间任意两相邻点的距离有了意义这样的空间就叫黎曼空间。三维欧式空间是黎曼空间的特例。在欧氏空间采用笛卡尔坐标，相邻点的距离公式为即，度规张量为这个张量的分量值与空间点无关。03/12/09*广义相对论_数学基础（3.1.1）（3.1.2）（3.1.3）03/12/09广义相对论_数学基础当在欧氏空间采用球坐标，则距离公式为相应的度规张量为注意，这个张量的分量是与点有关的。另一特例：闵柯夫斯基空间。取坐标则不变距离公式为即度规张量为对一个黎曼空间，如能选取适当坐标，使它的度规张量具有如下形式：*（3.1.4）（3.1.5）03/12/09广义相对论_数学基础则称它为平坦的黎曼空间。线性代数中有一条定理：对常系数的二次型若则必能找到坐标变换，把这二次型化为坐标微分的平方和（或差）。推论：如果区域V内度规张量是常数，那么V内的空间是平坦的。3.2张量指标的升降在黎曼空间中，某点上的逆变矢量看借助该点的度规张量来定义相应的协变矢量，其他有逆变指标的张量也可做同样的操作，如这叫张量指标的下降。*（3.1.6）03/12/09广义相对论_数学基础当可定义逆变的度规张量，它满足利用，就可以作张量指标上升的操作。如总之，利用度规可把任一个张量形式的物理量或几何量表示成逆变的、协变的或混合的形式。这是黎曼空间中的张量的新性质。例一，任一矢量可借助度规而构成一个标量这个标量称为矢量长度的平方。例二，不变距离可写作