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四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．若集合,集合,则“”是“”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2．在平面直角坐标系中,若角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则终边与角相同的角的集合为()

A.或 B.

C. D.

3．下列函数中,既是偶函数,又在区间上单调递减的函数是()

A. B. C. D.

4．已知函数,若,则()

A.9 B.6 C.4 D.2

5．若实数a,b满足,则下列不等式成立的是()

A. B.

C. D.

6．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元,每次制作x个,每天每个面包的存留成本为1元,若每个面包的平均存留时间为天,为了使每个面包的总成本最小,则每天应制作()

A.20个 B.30个 C.40个 D.50个

7．若正实数a,b满足,则函数与函数的图象可能是()

A. B.

C. D.

8．若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围为()

A. B.

C. D.

二、多项选择题

9．已知全集,集合,集合,则()

A. B.的子集个数为8

C. D.

10．已知函数,则关于函数的说法正确的是()

A.定义域为且 B.关于点对称

C.在区间上为增函数 D.值域为

11．已知函数,若,,使成立,则实数a的值可以是()

A. B. C. D.

三、填空题

12．函数的定义域为______________.

13．若第二象限角的终边与单位圆交点的横坐标为,则____________.

14．已知函数,对任意的,,若,恒有,则实数a的取值范围为_____________.

四、解答题

15．已知函数,

(1)在下图平面直角坐标系中画出函数的图象;

(2)解关于x的方程.

16．(1)若角满足,且,求,的值;

(2)若集合,,且,求实数a的取值范围.

17．17世纪,牛顿发现物体表面的热流密度与物体表面温度和周围环境温度之差成正比,其原理是当一个物体表面的温度高于周围环境的温度时,物体将会通过热传导、对流和辐射等方式向周围环境释放热量.如：一杯热茶水会在常温下逐渐冷却,设茶水的冷却时间为x（单位：）,茶水冷却后水温为y（单位：）,根据该机理,我们得到函数模型：,其中为茶水的初始温度,为室温,k为冷却系数.李大爷在室温的条件下泡了一杯的茶水,后,测得水温为.

(1)求冷却系数k;

(2)经研究表明,饮水温度不宜高于,以保证口腔与食管不受到损害,根据该模型判断后该杯茶水是否宜于饮用,并说明理由.

18．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性并证明;

(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法证明;

(3)若都有成立,求正实数k的取值范围.

19．已知,设是A到的一个函数,对任意的,若,,,全不相等,则称为函数.

(1)试判断与是否为函数（不必写出理由）;

(2)已知为函数,记的元素个数为.

（ⅰ）若,求的最小值;

（ⅱ）若,,求的最小值.

参考答案

1．答案：B

解析：由,则必有,但反之不一定成立,

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

2．答案：B

解析：由题设且,故终边与角相同的角的集合为.

故选：B.

3．答案：A

解析：由幂函数性质知：、为偶函数,为奇函数,为非奇非偶函数,

在上递减,递增,

综上,是偶函数,在区间上单调递减.

故选：A.

4．答案：D

解析：由题设,则.

故选：D.

5．答案：D

解析：由指数函数性质知,A错;

由,而不一定成立,则不一定成立,B错

当,时,,C错;

由,则,D对.

故选：D.

6．答案：C

解析：由题设,总成本为,则每个面包的总成本,

当且仅当时取等号,故每个面包的总成本最小,每天应制作40个.

故选：C.

7．答案：A

解析：令,可得或,

对于,若,则的零点,A满足,B不满足;

对于,若,则的零点,C、D不满足.

故选：A.

8．答案：C

解析：令,得,令,得或,函数草图如下,

根据解析式及函数恰有两个零点,结合图象,易知或.

故选：C.

9．答案：BC

解析：由题设且子集有个,B对,

又,则,A、D错;

由,则,C对;

故选：BC.

10．答案：AD

解析：由解析式知,即,故定义域为且,A对;

由,则函数关于y轴对称,不关于原点对称,B错;

当时,,易知函数在上为减函数,C错;

由上,,则,根据对称性知上值域也是,

若,则,故,根据对称性知上值域是,

所以值域为,D对.

故选：AD.

11．答案：ABC

解析：由题意,在上,

当,则在上单调递减,故,

所以,可得