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天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．设全集,集合,则()

A. B. C. D.

2．已知x,,则“”是“”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3．下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是()

A. B. C. D.

4．树人中学举行主题为“弘扬传统文化,传承中华美德”的演讲比赛,现随机抽选10名参赛选手,获得他们出场顺序的数据,将这组数据从小到大排序为3,5,6,8,m,14,15,16,17,18,若该组数据的中位数是极差的,则该组数据的第40百分位数是()

A.9 B.10 C.11 D.12

5．设,,,则a,b,c的大小关系为()

A. B. C. D.

6．设l是直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()

A.若,,则 B.若,,则

C.若,,则 D.若,,则

7．已知函数的最小正周期为,把函数图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数的图象,若是偶函数,则的最小值是()

A. B. C. D.

8．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的左支相交于P,Q两点,若,且,则双曲线的离心率为()

A. B. C. D.

9．如图,一个圆柱形容器中装有某种液体,固定容器在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是10和22,则容器内液体的体积是()

A. B. C. D.

二、填空题

10．i是虚数单位,复数的虚部为________.

11．在的展开式中,x的系数是________.

12．已知圆,直线l是抛物线的准线,则圆C关于直线l对称的圆的标准方程为________.

13．已知且,设函数在R上是单调函数,若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围是________.

三、双空题

14．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球,则恰有一个白球的概率是________;若每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回,记“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到红球”为事件B,则________.

15．如图,在中,,,P为上一点,且满足,则实数m的值为________;若的面积为,则的最小值为________.

四、解答题

16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,.

（1）求角B的大小;

（2）求的值;

（3）求的值.

17．如图,在三棱锥中,平面,,,,点D在棱上,且,M为棱的中点.

（1）求证:平面;

（2）求平面与平面夹角的余弦值;

（3）在线段上是否存在点H满足直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.

18．已知椭圆的右焦点为,离心率为,O为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）设直线l与椭圆相交于P,Q两点,的面积为,求直线,的斜率之积的值.

19．已知为等差数列,为公比大于0的等比数列,,,,.

（1）求和的通项公式;

（2）设数列满足,,对任意的,将数列中落入区间内的项的个数记为.

（i）求的通项公式及和的值;

（ii）记数列的前m项和为,请问是否存在,使得,若存在,求出所有m的值,若不存在,请说明理由.

20．已知函数.

（1）当时,求曲线在点处的切线方程;

（2）求证:有唯一极值点;

（3）若有唯一零点,求证:.

参考答案

1．答案：A

解析：,则,

故选:A

2．答案：D

解析：,而

同样,而,所以充分性、必要性都不成立.

故选:D

3．答案：C

解析：对于A,由幂函数的性质知在区间上单调递增,故在区间上单调递减,故A错误;

对于B,由幂函数性质知在上单调递减,故B错误;

对于C,令,则,又,所以函数为奇函数,

由指数函数的单调性知,在R上单调递增,在R上单调递增,

所以在R上单调递增,符合题意,故C正确;

对于D,由正弦函数性质可知为奇函数,但在区间上不单调,故D错误.

故选:C

4．答案：A

解析：由题可得极差是,该组数据的中位数是极差的,

列出等式,解得,

因为,

故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值,即,

所以该组数据的第40百分位数是9.

故选:A.

5．答案：B

解析：由指数函数的性质,可得,

根据对数函数的性质,可得,

所以.

故选:B.

6．答案：B

解析：设l是直线,,是两个不同的平面,

对于A,若,,则与相交或平行,故A错误;

对于B,若,则内存在直线,因为,

所以,由面面垂直的判定定理得,故B正确;

对于C,若,,则l与平行或,故C