精品解析：天津市南开中学滨海生态城学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷（原卷版）.docxVIP

2023-2024学年天津市南开中学滨海生态城学校高一（下）第二次月考数学试卷

一.选择题（共12小题）

1.已知复数为纯虚数，则实数（）

A. B. C.2 D.

2.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（）

A.20 B.12 C. D.

3.已知m，n表示两条不同直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，，则

D.若，，则

4.已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）

A.π B.2π C.4π D.12π

5.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”（）

A.与互斥 B.与对立

C. D.

6.从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（）

A B. C. D.

7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，已知，且，则的面积的最大值为（）

A.1 B. C.2 D.

8.某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）

①a的值为0.005

②估计这组数据的众数为75

③估计这组数据的下四分位数为60

④估计成绩高于80分的有300人

A.1 B.2 C.3 D.4

9.四棱锥的底面为正方形，底面，，四棱锥的顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（）

A.3 B. C.1 D.

10.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（）

A. B. C. D.

11.如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（）

①直线平面

②平面与平面的夹角大小为

③三棱锥的体积为定值

④异面直线与所成角的取值范围是

A.①② B.①③ C.①③④ D.①④

二.填空题（共8小题）

13.已知复数满足（其中虚数单位），则________

14.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．

15.一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是__________.

16.在中，分别为内角所对的边，若，，则的面积是______.

17.若样本数据的标准差为10，则数据的方差为_________.

18.从字母中任取两个不同的字母，则取到字母的概率为_____________.

19.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为______.

20.在中，设，E为BC中点，与交于点，则______.若，则值为______.

三.解答题（共4小题）

21.平面内给出三个向量，，，求解下列问题：

（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标；

（2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；

22.中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

23.如图，正方体棱长为1，线段上有两个不同的动点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.

24.如图1，为菱形，，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，如图2，

（1）证明：；

（2）求与平面所成角的正弦值

（3）在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请找出点的位置，请说明理由