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东南大学数值分析上机报告完整版

一、引言

(1)东南大学数值分析课程是一门研究数值方法及其应用的学科，旨在培养学生的数值计算能力，提高解决实际问题的能力。随着科学技术的快速发展，数值分析在各个领域都发挥着越来越重要的作用。例如，在工程设计领域，数值分析技术可以用于求解复杂的流体力学问题，优化产品设计，提高产品性能；在金融领域，数值分析可以用于风险评估、资产定价等，对金融市场的稳定和发展具有重要意义。

(2)本实验报告旨在通过数值分析上机实践，让学生深入理解数值方法的原理和应用，提高编程能力和实际问题解决能力。本次实验选择了几个典型的数值分析问题，如线性方程组的求解、矩阵特征值和特征向量的计算、数值积分等，通过具体的案例和实例，让学生了解这些方法在实际问题中的应用。

(3)以线性方程组的求解为例，本实验选择了Gauss消元法、LU分解法、迭代法等多种方法，对比分析了不同方法的计算效率和解的精度。实验中，我们选取了不同规模的线性方程组，分别使用不同的方法进行求解，并对结果进行了详细的比较和分析。实验结果表明，对于大规模线性方程组，迭代法在计算效率上具有明显优势，而对于中小规模的方程组，Gauss消元法和LU分解法则更为适用。

(4)在数值积分实验中，我们使用了梯形法则、辛普森法则、高斯积分等方法，对函数进行数值积分。通过实验，我们对比了不同方法的误差和计算量，并分析了误差产生的原因。实验结果显示，高斯积分法在计算精度和效率上均优于其他方法，尤其是在积分区间较大或被积函数复杂时，高斯积分法的优势更为明显。

(5)通过本次数值分析上机实验，学生们不仅掌握了数值分析的基本方法，还学会了如何运用这些方法解决实际问题。同时，实验过程中对编程技巧的运用和对计算资源的合理调配，也对学生今后的科研工作和工程实践具有很大的帮助。

二、实验内容及方法

(1)实验内容主要包括线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算以及数值积分。首先，针对线性方程组的求解，采用了高斯消元法、LU分解法和迭代法等，通过编程实现并对比了它们的效率和精度。实验中，选取了不同规模的方程组，对每种方法进行了测试，并记录了运行时间和解的误差。

(2)在矩阵特征值和特征向量的计算方面，实验采用了幂法、逆幂法和QR算法等。通过对不同矩阵进行特征值求解，验证了算法的准确性和稳定性。实验过程中，对矩阵的规模、特征值的分布和计算复杂度进行了分析，并比较了不同算法在处理不同类型矩阵时的表现。

(3)数值积分实验部分，采用了梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。实验选取了不同类型的函数和积分区间，对各种积分方法进行了测试。通过调整参数，分析了积分误差与积分区间、函数复杂度等因素之间的关系，并对不同积分方法的适用性进行了探讨。实验结果为后续的数值分析研究提供了有益的参考。

三、实验结果与分析

(1)在本次数值分析上机实验中，针对线性方程组的求解，通过高斯消元法、LU分解法和迭代法进行了测试。实验结果表明，对于小型方程组，高斯消元法和LU分解法在计算速度和精度上具有明显优势。然而，随着方程组规模的增大，这两种方法的时间复杂度显著上升，导致计算效率降低。相对而言，迭代法在处理大规模方程组时表现出较高的计算效率，特别是在稀疏矩阵的情况下，其优势更加明显。此外，通过对比不同方法在求解不同规模方程组时的性能，我们发现LU分解法在求解中小规模方程组时，其稳定性和精度均优于高斯消元法。

(2)在矩阵特征值和特征向量的计算实验中，幂法、逆幂法和QR算法被应用于不同类型的矩阵。实验结果显示，幂法在处理具有良好对角优势的矩阵时，具有较高的计算效率和准确性。而对于具有复杂特征值分布的矩阵，逆幂法在计算速度和精度上均优于幂法。QR算法则适用于大规模矩阵，其计算速度较快，且在求解过程中对矩阵的扰动具有一定的鲁棒性。实验中还发现，对于具有多个相近特征值的矩阵，QR算法能够更有效地识别出这些特征值，而幂法和逆幂法则可能存在一定的误差。

(3)在数值积分实验中，梯形法则、辛普森法则和高斯积分法被应用于不同函数和积分区间。实验结果表明，高斯积分法在处理复杂函数和高精度要求的情况下具有显著优势。当积分区间较大时，辛普森法则和梯形法则的误差较大，而高斯积分法则能够有效地减小这种误差。同时，实验还发现，高斯积分法在计算精度上优于辛普森法则和梯形法则，特别是在积分区间较小、被积函数复杂时，高斯积分法的优势更为明显。此外，通过调整高斯积分法中的节点数目，可以进一步优化计算精度，但同时也增加了计算量。因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的积分方法和节点数目，以平衡计算精度和计算效率。