2025年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案.docx

2025年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数\(f(x)=x^33x+1\)，则方程\(f(x)=0\)在区间\((0,2)\)内有：

A.1个实根

B.2个实根

C.3个实根

D.4个实根

2.在三角形\(ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a^2+b^2=2c^2\)。若\(C=120^\circ\)，则\(\frac{a}{b}\)的取值范围是：

A.\(\left(0,1\right)\)

B.\(\left(1,\sqrt{3}\right)\)

C.\(\left(\sqrt{3},+\infty\right)\)

D.\(\left(0,\sqrt{3}\right)\)

3.若复数\(z=1+i\)（其中\(i\)是虚数单位），则\(|z1|+|z+1|\)的值为：

A.2

B.4

C.6

D.8

4.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=2^n1\)，则数列\(\{a_n\}\)的通项公式为：

A.\(a_n=2^{n1}\)

B.\(a_n=2^n\)

C.\(a_n=2^{n+1}\)

D.\(a_n=2^{n2}\)

5.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差数列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的值分别为：

A.\(a=1,b=4,c=9\)

B.\(a=3,b=4,c=5\)

C.\(a=2,b=3,c=7\)

D.\(a=1,b=3,c=9\)

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若\(x\)是方程\(2x^35x^2+4x1=0\)的实根，且\(x\)在区间\((1,2)\)内，则\(3x2x^2\)的值为________。

7.在直角坐标系\(xOy\)中，点\(P\)在圆\(x^2+y^2=4\)上，且\(P\)到直线\(y=x+2\)的距离等于1，则点\(P\)的坐标为________。

8.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则\(a_{10}\)的值为________。

9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等比数列，且\(a+b+c=14\)，\(abc=27\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的公比为________。

10.若\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，\(\cos\theta0\)，则\(\cos2\theta\)的值为________。

三、解答题（每题20分，共60分）

11.设\(f(x)=x^33x+1\)，证明：方程\(f(x)=0\)在区间\((0,2)\)内只有一个实根。

12.在三角形\(ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a^2+b^2=2c^2\)，\(C=120^\circ\)。求\(\cosA\)和\(\cosB\)的值。

13.设数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=2^n1\)，求\(\{a_n\}\)的通项公式，并证明你的结论。

2025年全国高中数学联赛(B卷)答案

一、选择题

1.A

2.B

3.B

4.A

5.A

二、填空题

6.\(5\)

7.\((1,\sqrt{3})\)或\((1,\sqrt{3})\)

8.\(511\)

9.\(3\)

10.\(\