2024-2025学年高二上学期期末数学考点《数列求通项与求和》含答案解析.docxVIP

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清单08数列求通项与求和

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】累加法（叠加法）

若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。

【清单02】累乘法（叠乘法）

若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。

【清单03】数列求通项（法）

对于数列，前项和记为；

①；②

②：

法归类

角度1：已知与的关系；或与的关系

用，得到

例子：已知，求

角度2：已知与的关系；或与的关系

替换题目中的

例子：已知；

已知

角度3：已知等式中左侧含有：

作差法（类似）

例子：已知求

【清单04】构造法

用“待定系数法”构造等比数列

形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.

【清单05】倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.

类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）

【清单06】裂项相消法

1、等差型

=1\*GB3①

特别注意

②

如：（尤其要注意不能丢前边的）

2、无理型

=1\*GB3①

如：

3、指数型

①

如：

【考点题型一】累加法求通项

核心方法：形如：

【例1】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为．

【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是．

【考点题型二】累乘法求通项

核心方法：形如：

【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

【变式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列数列满足，，其中n∈N*．

(1)求数列的通项公式；

【考点题型三】已知与的关系；或与的关系

核心方法：用，得到

【例3】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足.

(1)求数列的通项公式；

【变式3-1】（2024·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

【考点题型四】已知与的关系；或与的关系

核心方法：替换题目中的

【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．

【变式4-1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列中，，且，为数列的前项和，，数列bn是等比数列，，．

(1)求数列和bn的通项公式；

【考点题型五】已知等式中左侧含有：

核心方法：作差法（类似）

【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列满足：，数列bn满足：.

(1)求数列的前15项和；

【变式5-1】（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足，则（???）

A．2 B． C． D．

【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）

【例6】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则.

【变式6-1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则．

【变式6-2】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

【考点题型七】数列求通项之构造法（形如）

【例7】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为．

【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为．

【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式．

【考点题型八】数列求通项之倒数法（形如）

【例8】（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为.

【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则．

【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）若数列{an}中，，则这个数列的

【考点题型九】数列求和之倒序相加法

【例9】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，

(1)计算的值；

(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.

【变式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则.

【变式9-2】（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，，则的对称中