线代数及其应用.ppt

所以r（B）=3．即若n阶矩阵A可逆，矩阵A总可以通过一系列的初等行变换化为单位矩阵，则用同样的初等行变换就将I化为A-1．这就给我们提供了一个计算A-1的有效方法：若对(A|I)施以初等行变换将A变为I，则I就变为A-1，030405060102二、用矩阵初等行变换求逆矩阵01例已知矩阵02求逆矩阵A-11值得注意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必2须始终用初等行变换，其间不能作任何初等列变3换．且在求一个矩阵的逆矩阵时，不必考虑这个矩4阵是否可逆，只要在用初等行变换的过程中，发现5这个矩阵不能化成单位矩阵，则它就没有逆矩阵．010203其系数行列式为设n元n个方程组为克莱姆法则9.4线性方程组的概念与克莱姆法则b1，b2，…bn，得到的行列式记作Dj，即：在系数行列式D中第j列的元素依次改换为BA关于线性方程组（1）的解有下述法则：克莱姆法则当线性方程组（1）的系数行列式D≠0时，该方程组有且只有唯一解：例用克莱姆法则解方程组12解因为经计算还可得到方程组的解为一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等．对于n个未知数n个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法：克莱姆法则；⑵逆矩阵；⑶矩阵法．其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组．本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解．先考察先面的两个例子．例讨论线性方程组、一般线性方程组的解因此有01由于当x3和x4分别任意取定一个值时，都可得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多组解．02最后一个矩阵对应于方程组：性质7行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1,2,…,n）．01推论行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+…+ajnAin=0（i,j=1,2,…,n,i≠j）．02例按第三行展开计算行列式STEP4STEP3STEP2STEP1由m×n个数排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵．其中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j称为aij的列指标．定义1矩阵的概念9.2矩阵及其初等变换STEP1STEP2STEP3矩阵通常用A，B，C…大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或．例如：为一个2×3矩阵．在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称,元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O或0，如：当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）．01只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵，分别称为行矩阵和列矩阵，如：02若方阵的元素aij=0（i≠j），则称A为对角矩阵，aii（i=1,2,…,n）称为A的对角元，如对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为In．为二阶对角矩阵．形如01的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵．02把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵．即矩阵01的转置矩阵02一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵．03那么就称这两个矩阵相等.01例已知02而且A=B，求a,b,c,d．03解根据矩阵相等的定义，可得方程组0401解得a=5,b=2,c=2,d=-1，02即当a=5,b=2,c=2,d=-1时A=B．03应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同04的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个05数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不06同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对07圆括号或中括号．显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵．应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算．、矩阵的加法和减法容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：交换律：A+B=B+A；结合律：(A+B)+C=A+(B+C)．例已知求A+AT和A-AT．三、数与矩阵相乘定义一个数k与一个m行n列矩阵相乘，它们的乘积为kA，并且规定Ak=kA．例如，设010203设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算机，月产量（单位：台）为如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）