实战演练11 递推、累加、累乘、构造法求数列通项公式（4大常考点归纳）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）原卷版.docx

实战演练11递推、累加、累乘、构造法求数列通项公式

①递推法

②累加法

③累乘法

④构造法

一、公式递推法：

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．

二、累加法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：

=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；

=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．

三、累乘法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相乘，可得：

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．

四、构造数列法：

（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：

（1）若时，数列{}为等差数列；

（2）若时，数列{}为等比数列；

（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出

（二）形如型的递推式：

（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出

（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出

法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．

（3）当为任意数列时，可用通法：

在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．

五、倒数变换法：

形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；

还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．

六、形如型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式

①递推法

一、填空题

1．（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为．

2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为

3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式．

4．（23-24高二上·福建福州·期末）设数列的前项和为.已知，数列的通项公式.

5．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则

6．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）设数列的前n项和为，，，则.

7．（2024高三下·全国·专题练习）数列满足，则．

8．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为．

②累加法

一、填空题

1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列中，，则．

2．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前n项和为，则．

3．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（），则（用数字作答）．

4．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则．

5．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则.

6．（23-24高二下·辽宁·期中）在首项为1的数列中，则

③累乘法

一、填空题

1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：