实战演练13 新定义问题（5大常考点归纳）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）原卷版.docx

实战演练13新定义问题

①集合新定义

②函数新定义

③数列新定义

④圆锥曲线新定义

⑤立体几何新定义

一、新定义问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、新定义问题技巧

新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.

①集合新定义

一、解答题

1．（2024·海南·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.

(1)若为1，2，3，6，写出集合，并求的值；

(2)若为1，3，a，b，且，求和集合；

(3)若是递增数列，且项数为，证明：“”的充要条件是“为等比数列”.

2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，两点的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点的“曼哈顿距离”为5，记为.

(1)若点是满足的动点的集合，求点集所占区域的面积；

(2)若动点在直线上，动点在函数的图象上，求的最小值；

(3)设点，动点在函数的图象上，的最大值记为，求的最小值.

3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．

(1)求元素个数最小的数环；

(2)证明：记，证明：是数域；

(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．

4．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合，其中且，，若对任意的，都有，则称集合A具有性质．

(1)集合具有性质，求m的最小值；

(2)已知A具有性质，求证：；

(3)已知A具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由．

5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）设数阵，其中.设，其中，且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有t或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以”（），表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.

(1)若，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；

(2)若，，求的所有可能取值的和；

(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不大于.

6．（2024·北京海淀·二模）设正整数，，，这里.若，且，则称具有性质.

(1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；

(2)若具有性质：

①求证：；

②求的值.

②函数新定义

一、解答题

1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．

(1)当时，求证；

(2)当时，求函数的不动点的个数；

(3)设，证明．

2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）记，若存在，满足：对任意，均有，则称为函数在上的最佳逼近直线.已知函数，.

(1)请写出在上的最佳逼近直线，并说明理由；

(2)求函数在上的最佳逼近直线.

3．（2024·全国·模拟预测）若函数在上满足且不恒为0，则称函数为区间上的绝对增函数，称为函数的特征函数，称任意的实数为绝对增点（为函数的导函数）．

(1)若1为函数的绝对增点，求的取值范围；

(2)绝对增函数的特征函数的唯一零点为．

（ⅰ）证明：是的极值点；

（ⅱ）证明：不是绝对增函数．

4．（2024·上海·模拟预测）设定义域为的函数y=fx在上可导，导函数为y=fx.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数y=fx为上的“

(1)判断是否为0,+∞上的函数，说明理由；

(2)若实数满足：为上的函数，求的取值范围；

(3)已知函数y=fx存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.

5．（2024·福建龙岩·三模）若函数的定义域为，有，使且，则对任意实数k，b，曲线与直线总相切，称函数为恒切函数.

(1)判断函数是否为恒切函数，并说明理由；

(2)若函数为恒切函数.

（i）求实数的取值范围；

（ii）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：.

（注：是自然对数的底数.参考数据：）

6．（2024·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满