浅谈度量空间.doc

分院名称：生学号长春师范学院本科毕业论文题目：专业：姓名：指导教师姓名：指导教师职称：2010年月论文作者签名：日期：年月日长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成。如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任。指导教师签名：日期：年月日

目录承诺保证书………………I1度量空间的定义……………………12度量空间的一些例子………………23度量空间的一些简单性质…………54度量空间的紧致性与完备性………84.1度量空间的紧致性…………………94.2度量空间的完备性………………10参考文献…………………13英文摘要…………………14

间，则拓扑空间是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证充分性若是一个离散的度量，则对于任意的，存在实数，使得对于任意的,,有.于是的球形邻域,所以，为开集.由的任意性以及开集的性质，故为离散空间.必要性若为离散空间，则对于任意的,单点集为开集，于是存在的球形邻域,令，则对于任意的并且,有.所以,为离散的度量.定理3.2度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证设为一个度量空间，是的任意一个子集.欲证的导集为闭集，只需证.如果,显然.如果,由于,所以对于任意,有或.若，则对于的任意一个球形邻域,有.于是，对于任意的,则，取则,并且又由于,所以，因此.综上，对于任意,有.所以，.定理3.3度量空间中的每一个单点集都是闭集.证为一个度量空间，,对于任意,,令，于是,并且,所以,,于是=,因此，单点集为闭集.由的任意性，度量空间中的每一个单点集都是闭集.定理3.4是一个度量空间，如果有一个基只含有有限个元素，则必为只含有有限多个点的离散空间.证假设是无限集.由于是一个度量空间，由定理3.1可知，中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意，集合-都是开集.因此，拓扑空间中有无穷多个不同的开集.又由已知有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，是一个离散空间.定理3.5度量空间中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.证设是一个度量空间，是中的一个收敛序列.假若序列至少有两个极限和.由于,则.设=,于是对于的球形邻域,存在∈,使得当时，有;对于的球形邻域,存在∈,使得当时，有.则一方面.（3.1）另一方面，令{,},于是当时，有，这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.因此，度量空间只有一个极限.定理3.6设是一个度量空间，,有一个序列在中并且收敛于当且当是集合的一个凝聚点.证必要性设序列在中并且敛于.如果是的一个邻域，则存在使{…},因此{,…},从而.所以是的一个凝聚点.充分性如果是的一个凝聚点，则对于任意一个球形邻域有,于是对于任给的正实数有,其中.并且.所以对于每一个,任取,则序列{}中并且收敛于.4度量空间的紧致性和完备性4.1度量空间的紧致性设是度量空间中的一个非空子集.集合的直径定义为=设是一个度量空间，A是的一个开覆盖.实数成为开覆盖A的一个数，如果对于中的任何一个子集，只要，则包含于开覆盖A的某一个元素之中.数不一定存在。例如考虑实数空间的开覆盖则任何一个实数都不是它的数.(数定理)序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个数.证设是一个序列紧致的度量空间，A是的一个开覆盖.假若开覆盖A没有数，则对于任何，实数不是A的数，所以有一个子集使得并且不包含于A的任何元素之中.在每一个之中任意