第11讲 函数的奇偶性（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）（解析版）.docx

第11讲函数的奇偶性

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；

2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；

3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.

知识点1函数的奇偶性

1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称．

2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论．

3、奇函数、偶函数图象对称性的推广

在定义域内恒满足

的图象的对称轴（中心）

直线

直线

直线

点

点

点

知识点2判断奇偶性的常用方法

1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论：

（1）如果或，则函数为偶函数；

（2）如果或，则函数为奇函数．

2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．

3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：

偶

偶

偶

偶

偶

偶

奇

不确定

奇

偶

奇

偶

不确定

奇

偶

奇

奇

奇

偶

奇

【注意】在中，的值域是定义域的子集．

4、分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．

知识点3函数奇偶性的应用

函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．

1、由函数的奇偶性求参数

若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．

2、由函数的奇偶性求函数值

由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．

3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤

（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；

（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；

（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出．

知识点函数奇偶性与单调性的综合应用

1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

2、区间和关于原点对称

（1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值；

（2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值．

3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．

【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．

考点一：判断函数的奇偶性

例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，因为的定义域为，且，

所以为偶函数；

对于B，因为的定义域为，且，

所以不是奇函数；

对于C，因为的定义域为，

且，所以为奇函数；

对于D，因为的定义域为，且，

所以为偶函数；故选：.

【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于A，的定义域为，它不关于原点对称，故A不符合题意；

对于B，对于而言，，故B不符合题意；

对于C，对于而言，，故C不符合题意；

对于D，对于而言，其定义域为全体实数，关于原点对称，

且，故D符合题意.故选：D.

【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的奇偶性是（????）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

【答案】A

【解析】若，则，则；

若，则，则.

又，满足.

所以，又函数的定义域为，关于原点对称，

因此，函数为奇函数.故选：A.

【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

对于A选项，，

令，该函数的定义域为，

，则为奇函数，A满足要求；

对于B选项，，

令，该函数的定义域为，则，

所以，函数不是奇函数，B不满足条件；

对于C选项，，

令，该函数的定义域为，则，

所以，函数不是奇函数，C不满足条件；