第14讲 导数的概念及其运算（9类核心考点精讲精练）（解析版）.docx

第14讲导数的概念及运算

（9类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

2024年北京卷，第20题，15分

求切线方程

2023年北京卷，第20题，15分

利用导数的几何意义求参数

2022年北京卷，第20题，15分

求切线方程

2021年北京卷，第19题，15分

求切线方程

2020年北京卷，第19题，15分

求切线方程

2.命题规律及备考策略

【命题规律】导数的几何意义是北京高考的必考点，难度不大，一般在解答题第（1）问中考查．

【备考策略】

1.了解平均变化率、瞬时变化率、导数概念的实际背景；

2.理解导数的几何意义；

3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

【命题预测】高考数学北京卷重点考查学生对导数概念的理解和应用能力．

知识讲解

知识点1导数的概念

1、导数的定义

（1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．

（2）函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．

2、导数的几何意义及应用

（1）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

（2）求曲线“在”与“过”某点的切线

=1\*GB3①求曲线“在”某点处的切线方程步骤

第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率

第二步（写方程）：用点斜式

第三步（变形式）：将点斜式变成一般式．

=2\*GB3②求曲线“过”某点处的切线方程步骤

第一步：设切点为；

第二步：求出函数在点处的导数；

第三步：利用Q在曲线上和，解出及；

第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．

知识点2导数的运算

1、基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*)

f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos_x

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax(a0且a≠1)

f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

f(x)＝lnx(x0)

f′(x)＝eq\f(1,x)

2、导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．

3、复合函数的导数

（1）复合函数的概念

一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作．

（2）复合函数的求导法则

一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

规律：从内到外层层求导，乘法连接．

（3）求复合函数导数的步骤

第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；

第三步相乘：把上述求导的结果相乘；

第四步变量回代：把中间变量代回．

考点一、导数的定义及变化率问题

【典例1】（23-24高三上·北京人大附中·质量检测）某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（????）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】.故选：B.

【典例2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时加速度大于，则的取值范围是（????）

A． B． C