2024-2025学年上海复兴中学高一上学期数学期中试卷及答案（2024.11）.docx

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复兴中学2024学年第一学期高一年级数学期中

2024.11

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合,，则________．

2．已知关于的方程的两实根分别为、，则________．

3．已知，，则的取值范围为________．

4．已知，则________．（用、表示）

5．关于的不等式的解集为________．

6．某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学、物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为________人．

7．若正实数、满足，则的最小值为________．

8．关于的不等式的解集为________．

9．已知幂函数的图像过点，则的解集为________．

10．已知，若对任意的，和至少有一个的值非负，则实数的取值范围是________．

11．已知集合恰有2个子集，则实数的取值集合为________．

12．定义为实数、中较小的数．已知，其中、均为正实数，则的最大值是________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13．设，则“”是“”的（）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

14．已知、、，则下列命题为假命题的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

15．十七世纪，数学家费马提出猜想“对任意正整数，关于、、的方程没有正整数解”，三百多年后，1995年数学家安德鲁·怀尔斯发表了完成的证明过程，使它终成费马大定理．对费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（）．

A．对任意正整数，关于、、的方程都有正整数解

B．对任意正整数，关于、、的方程至少存在一组正整数解

C．存在正整数，使得关于、、的方程至少存在一组正整数解

D．存在正整数，使得关于、、的方程至少存在一组正整数解

16．设、是有限集，定义，其中表示有限集中的元素个数．给出如下两个命题：

命题①对任意有限集、，“”是“”的充要条件；

命题②对任意有限集、、，．

则说法正确的为（）．

A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假

三、解答题：本大题共5小题，（共78分）．

17．已知集合，．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

18．已知指数函数，满足．

（1）求函数的表达式；

（2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

19．现婴在阁楼屈顶（司视作如图所示的锐角三角形）上开一内段矩形窗户（阴影即分）．设其一边长（单位：）为．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户而积与地板而积的比应不小了，而且这个比值越大，采光效果越好．

（1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？

（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由．

20．已知（其中）．

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；

（3）解关于的不等式：．

21．设数集满足：①；②任意、且，有，则称数集对于乘法封闭．

（1）判断集合，是否对于乘法封闭，并说明理由；

（2）证明：集合对于乘法封闭；

（3）求所有对于乘法封闭的三元素集．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;

8.;9.;10.；11.12.

12．定义为实数、中较小的数．已知，其中、均为正实数，则的最大值是________．

【答案】

【解析】均为正实数,,

当,即时,,即,;

当时,;综上所述，的最大值为.故答案为:.

二、选择题

13.B14.B15.D16.A

15．十七世纪，数学家费马提出猜想“对任意正整数，关于、、的方程没有正整数解”，三百多年后，1995年数学家安德鲁·怀尔斯发表了完成的证明过程，使它终成费马大定理．对费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（）．

A．对任意正整数，关于、、的方程都有正整数解

B．对任意正整数，关于、、的方程至少存在一组正整数解

C．存在正整数，使得关于、、的方程至少存在