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2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题

2018年9月22日

一，（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。从地球上空离地面高度为h的空间站发射一个小

物体，该物体相对于地球以某一初速度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。已知地球半径为R，质

量为M，引力常量为G。地球自转及地球大气的影响可忽略。

（1）若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？

（2）若该物体的初速度大小为v0，且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即速度与其水平分量

之间的夹角），以及它从开始发射直至落地所需的时间。

已知对于2

c0，b4ac0有

xdxabxcx2b2cxb

arcsinC，式中C为积分常数。

c3

abxcx22(c)2

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二，（40分）如图，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球，弹簧水平水平，它处

于自然状态时小球位于坐标原点O；小球课在水平地面上滑动，它与地面之间的摩擦因数为。初始时小

球速度为0，将此时弹簧相对于其原长的伸长记为-A（A0但是它并不是已知量）。重力加速度大小为g，

00

假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力

（1）如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下A应满足的条件；

0

（2）如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的位置，和此种情

形下A应满足的条件；

0

（3）如果小球只能完成n次往返运动（向右经过原点，然后向左经过原点，算1次往返）

（4）如果小球只能完成n次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的总路程。

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三、（40分）如图，一质量为M、长为l的匀质细杆AB自由悬挂于通过坐标原点O点的水平光滑转轴

上（此时，杆的上端A未在图中标出，可视为与O点重合），杆可绕通过O点的轴在竖直平面（即x-y平

面，x轴正方向水平向右）内转动；O点相对于地面足够高，初始时杆自然下垂；一质量为m的弹丸以

大小为v的水平速度撞击杆的打击中心（打击过程中轴对杆的水平作用力为零）并很快嵌入杆中。在杆转

0

半圈至竖直状态时立即撤除转轴。重力加速度大小为g。

（1）求杆的打击中心到O点的距离；



0

（2）求撤除转轴前，杆被撞击后转过（）角时转轴对杆的作用力

（3）以撤除转轴的瞬间为计时零点，求撤除转轴后直至杆着地前，杆端B的位置随时间t变化的表达式

x(t)和y(t)；

B