压轴题02 不等式的五种考法（解析版）.docx

压轴题02不等式的五种考法

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 2

题型一、解不等式 2

题型二、利用不等式的性质证明不等式 7

题型三、利用不等式的性质求最值 12

题型四、根据不等式的性质求范围 20

题型五、不等式的实际应用 25

压轴能力测评（13题） 30

题型一、解不等式

高中数学中解不等式部分包括解一元二次不等式、可分解因式的高次不等式与分式不等式、含绝对值符号的不等式、无理不等式、指数对数不等式，每一类不等式的求解过程都有其本身特有的规律可循，关键是不等式的同解变形。

题型二、利用不等式性质证明不等式

（1）定理法（三角不等式）对任意的实数a、b，有，且等号当且仅当ab≥0时成立.

另有：

（2）作差法

（3）反证法等

题型三、利用不等式性质求最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是(简记：积定和最小)；

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

应用平均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错．

运用以上结论求最值要注意下列三个条件:

①一正:要求各数均为正数????;

②二定:要求和或积为定值????;

③三相等:要保证具备等号???成立的条件.

题型四、根据不等式性质求范围

对参数的分类讨论是解答含参数不等式的最为重要、最为核心的思想方法。当然，分类要全面，要做到不重不漏，含有参数的不等式恒成立问题的讨论和求解，途径之一是转化为函数，结合函数的图像，正确运用函数的性质再一次转化为不等式组求解，有时候需转化为多个不等式组；途径之二是运用参变分离法.通常解答含参数数学问题总是把注意力集中在主变元上，思考探求参变元的取值或其范围，这种思考当然是可以的，但有时解题过程会非常烦琐。若注意考查命题的求解趋势，依从条件与结论的内在联系变换思考方向，视其参变元为主元进行研究、推导，也能找到解决问题的途径，有时还能获得问题的妙思巧解，这就是“反客为主”分离参数的方法，参变分离法就是把所求参变量与其他变量分离开来，通过研究其他变量构成的解析式的性质来确定所求参变量的范围。参变分离的过程实质是把原问题化归为另一领域的数学问题，通常是一个比较容易操作的问题。这一解法具有思路清晰、有章可循、解法简洁的特点。

求参数的值或取值范围的一般方法

（1）分离参数，转化为求代数式的最值问题．

通过参变分离，将问题转化为a≥f(x)（或a≤f(x)）求最值：

a≥f(x)对x∈D恒成立a≥[f(x)]max;

a≤f(x)对x∈D恒成立a≤[f(x)]min;

a≥f(x)对x∈D有解a≥[f(x)]min;

a≤f(x)对x∈D有解a≤[f(x)]max;

a≥f(x)对x∈D无解a[f(x)]min;

a≤f(x)对x∈D无解a[f(x)]max;

(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围。

题型五、不等式的实际应用

(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用不等式性质求得函数的最值；

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；

(4)在应用不等式性质求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解。

题型一、解不等式

1．（23-24高一上·上海松江·期中）已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围；

(3)若，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

(3)答案见详解

【分析】（1）代入，直接解一元二次不等式即可；

（2）由题意可得对任意恒成立，分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题分析求解；

（3）整理可得，分类讨论最高项系数以及根的大小解不等式.

【详解】（1）若，则，整理的，

解得，所以不等式的解集为.

（2）因为，则等价于，

即对任意恒成立，

若，即时，则，符合题意；

若，即时，则，解得；

综上所述：实数的取值范围.

（3）因为，

（i）若，则，解得，即不等式解集为；

（ⅱ）若，令，解得或，

若，不等式解集为；

若，则，

当，即时，不等式解集为；

当，即时，不等式解集为；

当，即时，不等式解集为；

综上所述：若，不等式解集为；

若，不等式解集为；

若时，不等式解集为；

若时，不等式解集为；

若时，不等式解集为.

2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式：.

【答案】（1）；（2）答案见解析

【分析】（1）分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据题意可得出关于实数