陕西省汉中市多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题.docx

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2024-2025学年陕西省汉中市多校高三（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|log2（2x﹣1）＜1}，，则A∪B＝（）

A． B． C． D．{x|﹣1＜x＜1}

2．（5分）在二项式的展开式中，常数项为（）

A．180 B．270 C．360 D．540

3．（5分）若复数z满足，则在复平面内z所对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（5分）已知平面向量，则向量在向量（）

A．（6，﹣3） B．（4，﹣2） C．（2，﹣1） D．（5，0）

5．（5分）已知{an}是无穷数列，a1＝3，则“对任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an”是“{an}是等差数列”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知直线l1：x+y+C＝0与直线l2：Ax+By+C＝0交于（1，1），则原点到直线l2距离的最大值为（）

A．2 B． C． D．1

7．（5分）曲线y＝sin（x+1）与y＝lgx交点个数是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（5分）图①是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上，下底面中心，得图②，若△BEF为正三角形（）

A．（8+2）π B．（8+4）π C．12π D．16π

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（）

A．事件与事件B相互独立

B．

C．

D．

（多选）10．（6分）若函数f（x）＝x3﹣3x2，则（）

A．f（x）的极大值点为2

B．f（x）有且仅有2个零点

C．点（1，﹣2）是f（x）的对称中心

D．

（多选）11．（6分）数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：r＝a（1﹣sinθ），克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程．如图，该曲线图象过点（0，﹣2），则（）

A．a＝1

B．曲线经过点（﹣1，0）

C．当点（x0，y0）在曲线上时，

D．当点（x0，y0）在曲线上时，

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（5分）已知函数是减函数，则a的取值范围是．

13．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，PA＝PB，则PA2+PB2+PC2最小时，三棱锥P﹣ABC的体积为．

14．（5分）已知椭圆，过x轴正半轴上一定点M作直线l，交椭圆C于A，当直线l绕点M旋转时，有λ为常数），λ＝．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角A；

（2）若，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求△ABC的面积．

16．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，B1E＝EC1，CF＝C1F．

（1）证明：BC1⊥平面A1EF；

（2）若，求直线PA1与平面A1EF所成角的正弦值的最大值．

17．（15分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{bn}的前n项和，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若T2n﹣S2n＜2025，求n的最大值；

（3）设，证明：．

18．（17分）已知平面内一动圆过点P（2，0），且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB∥CD，对角线AC与BD交于点T（2，1）．

（i）求直线AB的斜率；

（ii）证明：直线AD与BC交于定点．

19．（17分）阅读以下材料：

①设f′（x）为函数f（x）的导函数．若f′（x）；则称f（x）为区D上的凹函数（x）在区间D上单调递减，则称f（x）

②平面直角坐标系中的点P称为函数f（x）的“k切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y＝f（x），其中k∈N．

（1）已知函数f（x）＝ax4+x3﹣3（2a+1）x2﹣x+3．

（i）当a≤0时，讨论f1（x）的凹凸性；

（ii）当a＝0时，点P在y轴右侧且为f（x）的“3切点”；

（2）已知函数g（x）＝xex，点Q