第11章 专项1平行与垂直证明 复习课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版必修4（解析版）.docx

第十一章《立体几何初步》复习课讲义

专项1平行与垂直证明

知识梳理.平行与垂直证明

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

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判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)

∵l∥a，a?α，l?α，∴l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)

∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l∥b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

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判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

3.直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

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判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b

4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

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判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α

题型一.平行问题

考点1.线面平行

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：

（1）直线MN∥平面PAD；

【解答】证明：（1）根据题意，取PD的中点G，连接NG、AG，

G是PD的中点，N是PC的中点，则NG∥DC且NG=12

则四边形MNGA是平行四边形，则有MN∥AG，

又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，则有直线MN∥平面PAD；

2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．

（1）证明：PA∥平面BDE；

【解答】（1）证明：连结AC交BD于点F，连结EF，

在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，

所以AF＝2FC，又因为PE＝2EC，

所以PA∥EF，又PA?平面BDE，EF?平面BDE，

所以PA∥平面BDE；

考点2.面面平行

3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．

【解答】证明：连结A1B、AC1，

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点，

∴A1E∥AD，BD∥=C1E，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴C1D∥BE

∵AD∩C1D＝D，A1E∩BE＝E，

AD、C1D?平面ADC1，A1E、BE?平面A1EB，

∴平面A1EB∥平面ADC1．

4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

（1）求证：E、B、F、D1四点共面

（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．

【解答】证明：（1）如图：在DD1上取一点N使得DN＝1，

连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、

因为CF∥ND1所以四边形CFD1N是平行四边形，

所以D1F∥CN．

同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，

又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，

所以四边形CNEB是平行四边形，

所以CN∥BE，

所以D1F∥BE，

所以E，B，F，D1四点共面；

（2）因为H是B1C1的中点，所以B1H=3

因为B1G＝1，所以B1

因为FCBC=23，且∠FCB＝∠GB1

所以△B1HG∽△CBF，

所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，

所以HG∥FB，

由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，

所以平面A1GH∥平面BED1F．

考点3.线线平行

5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E