专题六　规律探究 2024-2025学年北师大版数学七年级下册.docxVIP

专题六规律探究

规律探究一般分为数式规律、运算规律和图形规律，主要是先通过三组以上的规律去寻找这些规律的内在联系，从而真正掌握这些规律，其主要体现是把第n个式子用含n的式子表示出来.

类型一关于数式的规律问题

1.观察下列各式.

（x－1）（x＋1）＝x2－1

（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1

（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1

…

请根据你发现的规律完成下列各题：

（1）根据规律可得（x－1）（xn－1＋…＋x＋1）＝（其中n为正整数）；

（2）计算：（3－1）×（350＋349＋348＋…＋32＋3＋1）；

（3）计算：①22022＋22021＋22020＋…＋2＋1；

②（－2）2022＋（－2）2021＋（－2）2020＋…＋（－2）＋1.

2.观察：（2＋3）2－22＝7×3；（4＋3）2－42＝11×3.

嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.

验证：（1）（6＋3）2－62的结果是3的倍；

（2）设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除；

延伸：（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由.

类型二关于几何图形的规律问题

3.如图，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到点D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：

a.若∠A＝40°，则∠P＝70°＝90°－40°

b.若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°－90°

c.若∠A＝110°，则∠P＝35°＝90°－110°

…

（1）根据上述规律，若∠A＝160°，则∠P＝；

（2）∠P＝；（用含∠A的式子表示）

（3）请证明（2）中的结论.

4.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.

（1）若∠A＝40°，则∠NMB为度；

（2）如果∠A＝α°（0＜α＜180），其余条件不变，求∠NMB的度数；

（3）补全规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与相交所成的锐角等于.

5.如图，直线MN∥GH，另一直线交GH于点A，交MN于点B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°.

（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；

（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；

（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，请直接写出∠BPC的度数，不用说明理由.

类型三关于变量间的规律问题

6.按如图方式摆放餐桌和椅子，用x表示餐桌的张数，用y表示可坐人数.

（1）题中有几个变量？

（2）你能写出（1）中变量之间的关系吗？

7.用长方形“?”和三角形“△”按图示排列规律组成一连串平面图形.

（1）当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为；

（2）设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y，请你写出用x表示y的关系式；

（3）某个图形中长方形个数与三角形个数之和可能为123个吗？若可能，请分别求出长方形个数与三角形个数；若不可能，请说明理由.

专题六规律探究

规律探究一般分为数式规律、运算规律和图形规律，主要是先通过三组以上的规律去寻找这些规律的内在联系，从而真正掌握这些规律，其主要体现是把第n个式子用含n的式子表示出来.

类型一关于数式的规律问题

1.观察下列各式.

（x－1）（x＋1）＝x2