高一上学期第三次月考21大压轴考法60题专练（第1~4章）解析版.docx

高一上学期第三次月考21大压轴考法60题专练（第1~4章）

一．元素与集合关系的判断（共6小题）

1．（2024秋?宝山区校级月考）已知集合，，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素．集合，2，中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，2，，则的值不可能为

A．37 B．39 C．48 D．57

【分析】根据题意得到集合，2，的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合，，中的元素，从而推得的取值范围，由此得解．

【解答】解：因为集合，，2，3，，，

又因为集合，，中，每个集合恰有5个元素，且有15个元素，

所以集合，，中没有重复元素，

因为1是集合中数值最小的元素，15是集合中数值最大的元素，

所以在的特征数构成中，必有1和15，不妨设，，

要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，2，3，4，，

所以5与14是剩下元素中数值最小或最大的元素，

同理，不妨设，，接着在中再次放置数值较小的元素，即，6，7，8，，

则，10，11，12，，

此时有最大值为，即；

要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，12，13，14，，

所以2与11是剩下元素中数值最小或最大的元素，

同理，不妨设，，接着在中再次放置数值较大的元素，

即，8，9，10，，则，4，5，6，，

此时有最小值为，即，

综上，，

显然，选项不满足，故正确；

选项都满足，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属难题．

2．（2024秋?宝山区校级月考）对于数集，，，，，，其中，，定义点集，，若对于任意，，存在，，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是①②③．

①，1，具有性质；

②若集合具有性质，则；

③集合具有性质，若，则．

【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解．

【解答】解：因为，1，，所以，，，，，，，，，

根据集合具有性质的定义，对于任意，

若，，则或，，，或，，，

若，取，，则；

若，，，取，，则；

若，，，取，，则；

若，有一个为负数，则或，

若，则取，，则；

若，则取，，则；

故①正确；

对于任意，，存在，，使得

取，，存在，使得，所以，

不妨设，，所以若集合具有性质，则，故②正确；

③假设，令，则存在，使得，

同②得，中必有一个数为，

若，则，于是，矛盾，

若，则，于是，也矛盾，

所以，又由②得，所以，所以，故③正确，

故真命题是①②③正确．

故答案为：①②③．

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，命题真假的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．

3．（2024秋?浦东新区校级月考）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是1或．

【分析】时，当时，；当时，；当时，，当时，，从而，解得；当时，当，时，则，．当，，当时，，当时，，即，当时，，当时，，从而，解得．当时，无解．

【解答】解：当时，当，时，则，，

当，时，则，，

即当时，；当时，，即；

当时，，当时，，即，

，解得．

当时，当，时，则，．

当，，则，，

即当时，，当时，，即，

即当时，，当时，，即，

，解得．

当时，同理可得无解．

综上，的值为1或．

故答案为：1或．

【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

4．（2023秋?徐汇区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，．

（1）若集合，，直接写出集合、（无需写计算过程）；

（2）若集合，，，，，且，求证：；

（3）若集合，，，记为集合中的元素个数，求的最大值．

【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合，即可；

（2）根据集合相等的概念，能证明；

（3）通过假设集合，，，，，求出对应的集合，，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可．

【解答】解：（1）集合，，，，，，，，

集合，4，，集合，．

（2）证明：集合，，，，，且，

中也只包含4个元素，即，，，，

剩下的元素满足，

；

（3）集合，，，记为集合中元素的个数，

设集合，，，满足题意，其中，

则，

，，，

，由容斥原理，，

最小的元素为0，最大的元素为，

，

，解得，

实际上当，676，，时满足题意．

证明如下：

设，，，，，，，

则，，，，，，1，2，，，

依题意，有，即，

的最小值为675，

当时，集合中元素最多，即，676，，时满足题意，

综上，的最大值为1349．

【点评】本题考查集合的运算、容斥原理、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

5．（2023秋?青浦区校级月考）已知为正整数，集合，，，，，，，2，，具有性质：“对于集合中的任意元素，，，，，且，其中，