行列式典型例题.ppt

第五节典型例题用n阶行列式的展开定理，把行列式按某一行（列）展开，即化高阶行列式为低阶行列式来计算。(Laplace定理)其他方法：对于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.用n阶行列式的性质把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。n阶行列式的计算是学习线性代数的基础，在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的基本方法是：010302

证明用数学归纳法证明范得蒙(Vandermonde)行列式例1

注意：范德蒙行列式是等于零?a1,a2,…,an中至少有两元素相等.n-1阶范德蒙行列式

例2计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。

解

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

例3添加标题01计算n阶行列式添加标题02加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数.添加标题03

这种形式的行列式简称“两边加一对角线”行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值，所以

例4计算n阶行列式

01解单击此处添加小标题03即单击此处添加小标题02将左上角的x改写为(x?a)＋a，第一列的(?a)均改写为0＋(?a)，于是第一列各元素均为两项之和，于是单击此处添加小标题04单击此处添加小标题

利用类似的方法，可得添加标题添加标题故从式（1）与（2）中可以消去Dn-10102

例5计算n阶行列式

(-a)(-a)(-a)此题的特点与§2例6相同.把各行都加到第一行上，然后提出公因式x+(n?1)a，得化为三角行列式解法1

化为两边加一对角线行列式解法2(-1)(-1)(-1)

单击此处添加小标题加边法单击此处添加小标题将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。单击此处添加小标题解法3单击此处添加小标题(-1)单击此处添加小标题(-1)单击此处添加小标题(-1)

把行列式的第2、3、···、n+1列分别提出公因子x-a，得第一章节

递推法将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然后将Dn拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系

例6计算行列式

解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.PARTONE

=…=

=n+1.

例7用行列式定义计算01

解