高一上学期期中考试16大压轴考法40题专练（第1~4章）原卷版.docx

高一上学期期中考试16大压轴考法40题专练（第1~4章）

一．集合的表示法（共1小题）

1．（2022秋?黄浦区校级期中）对正整数，记，2，3，，，．

（1）用列举法表示集合；

（2）求集合中元素的个数；

（3）若集合中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称为“稀疏集”．已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值．

二．元素与集合关系的判断（共11小题）

2．（2021秋?嘉定区校级期中）对于数集，，，，，，其中，，定义点集，，若对于任意，，存在，，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是．

①，1，具有性质；

②若集合具有性质，则；

③集合具有性质，若，则．

3．（2022秋?浦东新区校级期中）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是．

4．（2023秋?徐汇区校级期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．

（1）直接写出中所有元素之积的所有可能值；

（2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；

（3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．

5．（2023秋?嘉定区校级期中）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点为中元素的格点．

（1）证明：若，则；

（2）中的元素所对应的格点记作，现将中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以，，为顶点的三角形面积；

（3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围．

6．（2023秋?浦东新区校级期中）对于正整数集合，，，，，如果去掉其中任意一个元素，2，，之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．

（1）判断集合，2，3，4，是否为“和谐集”，并说明理由；

（2）求证：集合，3，5，7，9，11，是“和谐集”；

（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．

7．（2022秋?宝山区校级期中）已知，集合，，，，或1，，2，，，对于，，，，，，，，定义与之间的距离为：．

（1）对任意的，，请写出可能的值（不必证明）；

（2）设，且中有4个元素，记中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值；

（3）对，，，，，，，，定义：，，，．求证：对任意的，，，有以下结论成立：

①，，；

②、、三个数中至少有一个是偶数．

8．（2022秋?闵行区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；

（3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由．

9．（2022秋?宝山区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数．已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，．

（1）若，2，，，，求集合和；

（2）已知为有限集，若，证明：．

（3）若，求的值．

10．（2022秋?虹口区校级期中）已知集合，，，中的元素都是正整数，且．若对任意，，且，都有成立，则称集合具有性质．

（1）判断集合，2，3，是否具有性质；

（2）已知集合具有性质，求证：；

（3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由．

11．（2021秋?浦东新区校级期中）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数，已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，．

（1）若，1，，，，求集合及其元素个数；

（2）若，求的值；

（3）已知为有限集，若，证明：．

12．（2021秋?徐汇区校级期中）已知集合为非空数集，定义：，，，，，．

（1）若集合，，求证：，并直接写出集合；

（2）若集合，，，，，且，求证：；

（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值．

三．子集与真子集（共3小题）

13．（2022秋?浦东新区校级期中）对于集合，定义，，，设，2，3，，．

（1）设，4，，，5，，求，；

（2）若是的子集且，，，0，1，2，，求满足条件的的个数；

（3）设是正整数，若对的任意一个元子集，都有，2，，求的最小值．

14．（2022秋?徐汇区校级期中）（1）已知集合，且，任意从中取出个四元子集，，，，均满足的元素个数不超过2个，求的最大值．（举出一个例子即可，无需证明）

（2）已知集合，且，任意从中取出个三元子集，，，，均满足的元素个数不超过一个，求的最大值．

15．（2021秋?徐汇区校级期中）已知集合，2，3，，，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，，都有，则称具有性质．

（1）当时，试判断集合和，是否具有性质？并说明理由；

（2）当时，若集