第09讲 直线的一般式方程（4个知识点+2个要点+1个易错点+4种题型+过关检测）解析版.docx

第09讲直线的一般式方程（4个知识点+2个要点+1个易错点+4种题型+过关检测）

知识点1：直线的一般式方程

我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

注意点：

(1)直线一般式方程的结构特征

①方程是关于x，y的二元一次方程．

②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．

③x的系数一般不为分数和负数．

(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质

①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；

②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；

③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；

④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；

⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．

知识点2：直线的一般式方程与其他形式方程的互化

1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式．

2、一般式化为斜截式的步骤

（1）移项得；

（2）当时，得斜截式方程．

3、一般式化为截距式的步骤

（1）把常数项移到方程右边，得；

（2）当，方程两边同时除以，得；

（3）化为截距式方程：．

知识点3：直线系方程

（1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为

（2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为

知识点4：直线的方向向量

设A，B为直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．一条直线的方向向量有无数个,且都是非零共线向量。

要点1：选择恰当形式确定直线方程

名称

方程

适用范围

点斜式

y－y1＝k(x－x1)

不能表示与x轴垂直的直线

斜截式

y＝kx＋b

不能表示与x轴垂直的直线

两点式

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)

不能表示与坐标轴垂直的直线

截距式

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0)

适合所有的直线

要点2：利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系

若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，

则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：

（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.

即,且或.

（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即

题型1：直线一般式方程的应用

【例题1】（23-24高二上·河南信阳·期末）直线在y轴上的截距为（????）

A． B． C．1012 D．2024

【答案】B

【分析】利用截距的定义，结合直线方程即可得解.

【详解】因为，令，得，

所以直线在y轴上的截距为.

故选：B.

【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.

【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点，

所以直线方程为，化简得.

故选：C.

【变式2】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）若直线和直线斜率互为相反数，则.

【答案】或0

【分析】分，和，根据两直线的斜率互为相反数求解.

【详解】解：当，即时，，，不符合题意；

当，即时，，不符合题意；

当时，直线和直线斜率互为相反数，

所以，解得或，

故答案为：或0

【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线的方程．

(1)经过点和；

(2)平行于向量，并且经过点．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）得到直线方向向量，进而取得法向量，再用一般式解题；

（2）先得到直线斜率，再用点斜式，最后化为一般式即可.

【详解】（1）由已知条件可知直线的一个方向向量，

直线的一个法向量．

因此可设直线的一般式方程为，

代入，得，

所求直线的方程为．

（2）所求直线平行于向量，

所求直线的斜率为．

又直线经过点，

所求直线的方程为，整理得．

题型2：直线的位置关系的应用

【例题2】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（????）

A．或 B．或

C． D．

【答案】C

【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可.

【详解】直线和直线平行，

，解得或，

当时，两条直线重合；

当时，两条直线平行.

综上，.

故选：C.

【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（????）

A．或 B．

C． D．

【答案】A

【分析