清单01 空间向量的线性运算（考点清单+知识导图+ 18个考点清单题型解读）（解析版）.docx

清单01空间向量的线性运算（考点清单）

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】

【清单01】几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量

【清单02】空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

2：数乘向量与向量的关系

的范围

的方向

的模

与向量的方向相同

，其方向是任意的

与向量的方向相反

【清单03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使

拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．

【清单04】空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

【清单05】空间向量运算的坐标表示

设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

运算

坐标表示

加法

减法

数乘

数量积

【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示

1、两个向量的平行与垂直

平行（）

垂直（）

（均非零向量）

2、向量长度的坐标计算公式

若，则，即

3、两个向量夹角的坐标计算公式

设，则

【清单07】空间中直线、平面的平行

设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则

线线平行

??()

线面平行

??

面面平行

??

【清单08】空间中直线、平面的垂直

设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则

线线垂直

??

线面垂直

???

面面垂直

???

【考点题型一】空间向量基本概念

【例1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题：

①零向量的方向是任意的；

②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若空间向量，满足，则；

④空间中任意两个单位向量必相等．

其中正确命题的个数为（????）．

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】空间向量的有关概念

【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④.

【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；

方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；

若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误；

空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；

所以正确的命题只有个；

故选：D.

【变式1-1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（????）

A．零向量没有方向

B．在空间中，单位向量唯一

C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等

D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底

【答案】D

【知识点】空间向量的有关概念、判定空间向量共面

【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论.

【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误；

对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误；

对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误；

对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确.

故选：D.

【变式1-2】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期中）下列命题为真命题的是（）

A．若空间向量满足，则

B．在正方体中，必有

C．若空间向量满足，则

D．空间中，，则

【答案】BC

【知识点】空间向量的有关概念

【分析】根据题意，由空间向量的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与的方向不一定相同，故A为假命题；

对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题，

对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题；

对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当时，与不一定平行，故D为假命题；

故选：BC

【考点题型二】空间向量共线判断

核心方法：

【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（????）

A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上

C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对

【答案】A

【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定

【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可.

【详解】因为，所以，而，

故，所以，

所以，则点一定在直线上，故A正确.

故选：A

【变式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）下列条件中，能说明空间中