专题01空间中的翻折问题、最值问题（原卷版）.docx

专题01空间中的翻折问题、最值问题

题型01空间中的翻折问题

【典例分析】

【例1-1】（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（????）

??

A． B． C． D．

【例1-2】（21-22高一下·江苏镇江·期末）已知腰长为的等腰直角△ABC，现沿斜边BC上的高AD翻折，使得二面角B－AD－C的大小为60°，则点B到AC的距离为；异面直线AB与CD所成角的余弦值为．

【例1-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图甲，在直角边长为的等腰直角三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接、，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点．

(1)求证：；

(2)当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值．

【变式演练】

【变式1-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，把正方形纸片沿对角线进行翻折，点，满足，，是原正方形的中心，当，直线与所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

【变式1-2】（22-23高二上·浙江金华·期末）如图，已知平行四边形，，，，、分别是、的中点．现将四边形沿着直线向上翻折，则在翻折过程中，当点到直线的距离为时，二面角的余弦值为．

【变式1-3】（23-24高二上·重庆·期末）如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示.

??

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

题型02空间中的最值问题

【典例分析】

【例2-1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【例2-2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．

【例2-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．

【变式演练】

【变式2-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（????）

A． B． C． D．1

【变式2-2】（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为.

【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，．

(1)求证：直线平面BDE；

(2)求证：平面平面ABD；

(3)若点M为线段PO上的动点，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值．

一、单选题

1．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（????）

??

A． B． C． D．

2．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（????）

A． B． C． D．

3．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

4．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

5．（23-24高二下·河南·开学考试）在正三棱柱中，为的中点，分别为线段，上的动点，且，则线段的长度的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（????）

????

A． B． C． D．

7．（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（????）

A．1 B． C． D．

8．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方