北京市西城区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷.docx

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2025年北京市西城区高三上学期期末数学试卷

本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，那么集合

A. B. C. D.

2.设为虚数单位，，且，则

A. B. C. D.

3.下列函数中，值域为且为奇函数的是

A. B. C. D.

4.在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则

A. B. C. D.

5.过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是

A. B. C. D.

6.在中，则“”是“是直角三角形”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足

A. B. C. D.

8.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率

（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则

A. B. C. D.

9.若实数满足，则

A. B. C. D.

10.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则

A.是平行四边形，且周长为

B.是平行四边形，且周长为

C.是等腰梯形，且周长为

D.是等腰梯形，且周长为

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.抛物线的准线方程为_________.

12.在中，若，，，则_________.

13.若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是_________，且此时常数项等于_________.（用数字作答）

14.折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是_________，_________.

15.已知无穷数列满足.给出下列四个结论：

①存在，使得集合中有无穷多个元素；

②存在，使得集合中有有限个元素；

③对于任意的，集合中至多有一个元素；

④当时，集合.

其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，

.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的大小.

17.（本小题13分）

已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.

条件①：；

条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为；

条件③：函数的一个零点为.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题14分）

为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：

男生

女生

选择

不选择

选择

不选择

排球

50

50

50

50

篮球

25

75

15

65

足球

75

25

5

75

乒乓球

10

90

10

70

假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率.

（Ⅰ）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误.

结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；

结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20.

（Ⅱ）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为

；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）

19.（本小题15分）

已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.

20.（本小题15分）

已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；

（Ⅱ）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；

（Ⅲ）若函数有两个零点，且，求的取值范围.