第10讲 函数的单调性与最大（小）值（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）（原卷版）.docx

第10讲函数的单调性与最大（小）值

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性；

2．会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性；

3．会求一些具体函数的单调区间.

知识点1函数的单调性

1、单调函数的定义

（1）设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

（2）单调性的图形趋势（从左往右）

上升趋势下降趋势

2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（2）单调区间D?定义域I.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；

3、常见简单函数的单调性

函数

单调性

一次函数

当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减.

反比例函数

当时，在和上单调递减；

当时，在和上单调递增.

二次函数

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

4、定义法证明函数单调性的步骤

①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2

②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形

③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论

④判断：根据定义做出结论。

知识点2单调函数的运算性质

若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）与（C为常数）具有相同的单调性.

（2）与的单调性相反.

（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.

（4）若≥0，则与具有相同的单调性.

（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；

当时，与具有相同的单调性.

（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:

简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.

知识点3函数的最大（小）值

1、函数的最大值

（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).

（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。

2、函数的最小值

（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).

（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。

3、利用函数的单调性求最值的常用结论

（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值；

（2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值.

【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。

考点一：判断函数的单调性

例1．（23-24高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（????）

A．函数在区间上单调递增

B．函数在区间上单调递增

C．函数在区间上单调递减

D．函数在区间上不是单调函数

【变式1-1】（23-24高一上·天津红桥·期中）下列函数在区间上为减函数的是（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，在上为增函数的是（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（????）

A．是增函数 B．是减函数

C．是增函数 D．是减函数

考点二：定义法讨论函数的单调性

例2.（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；

【变式2-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上