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长沙市明德中学2024年下学期高一年级第一阶段检测

数学试卷

考试时间：120分钟考试满分：150分命题：高一数学备课组

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“”的否定是（）

A.B.

C.D.

2.已知集合，那么（）

A.B.C.D.

3.函数的零点是（）

A.B.1，2C.D.

4.“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知集合，若，则实数的值为（）

A.2B.C.2或D.4

6.对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围为（）

A.B.C.D.

7.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（）

A.

B.

C.若，则

D.整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”

8.在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知集合，若，则的值可能是（）

A.B.C.0D.2

10.对于实数，下列命题为假命题的有（）

A.若，则.

B.若，则.

C.若则.

D.若，则.

11.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（）

A.

B.

C.若不等式的解集为，则

D.若不等式的解集为，且，则

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合，若，则实数的取值范围是__________.

13.研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解决方案：

解：由，令，则，所以不等式的解集为.

参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________.

14.已知正数满足，则的最小值是__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

设全集为，集合.

（1）分别求；

（2）已知，若，求实数的取值范围.

16.（本小题满分15分）

（1）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围.

（2）已知，且，求的最小值.

17.（本小题满分15分）

已知集合且.

（1）若“命题”是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18.（本小题满分17分）

近日，工业部发布的重大技术装备推广应用指导目录中，国产的氟化氪光刻机和氟化氩光刻以套刻的惊人精度亮相，标志着中国在半导体制造领域的重大突破.此次突破的背后，是中国科研人员的不懈努力与自主创新.长沙某半导体企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.

（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？

（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出.范围；若不存在，说明理由.

19.（本小题满分17分）

已知集合为非空数集，定义：.

（1）若集合，直接写出集合，

（2）若集合，且，求证：；

（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.

长沙市明德中学2024年下学期高一年级第一阶段检测

数学答案

一?

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

D

A

B

D

C

C

题号

9

10

11

答案

BC

ABD

CD

三?

12.13.14.

四?

15.【答案】（1）或；（2）.

【详解】（1）因为，则，

可得或，所以或

（2）因为，可知，且，

可得，解得，所以实数的取值范围为

16.【答案】（1）；（2）10.

（1）由得，

则.

当且仅当即时取到最小值16.所以若恒成立，则.

（2）由，得，所以，

所以，

当且仅当，结合即时，等号成立.故的最小值为10.

17.【答案】（1）；（2）

【详解