第40讲 新定义压轴痛点问题（原卷版）.docx

第40讲新定义压轴痛点问题

【典型例题】

例1．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．

(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；

(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；

(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．

例2．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．

(1)若，用表示；

(2)证明：；

(3)若，，，证明：．

例3．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．

(1)试在上给出一个非单射的映射；

(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；

(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．

例4．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”．

(1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由；

(2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围；

例5．（2024·河南信阳·一模）定义：已知数列满足．

(1)若，，求，的值；

(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；

(3)若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．

例6．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．

(1)求数列的前项和；

(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明：

①对任意且，存在“-数列”，使得成立；

②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．

例7．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．

(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；

(2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；

(3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【过关测试】

1．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．

设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．

(1)若，，写出Y，并求；

(2)若，，求所有的总和；

(3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．

2．（2024·辽宁鞍山·二模）设数列的前项和为，已知，且．

(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．

3．（2024·高三·全国·专题练习）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”；（结果用含、的代数式表示）

(2)定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．

4．（2024·江西九江·二模）定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.

(1)求2的完美3维向量集；

(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.

5．（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原