高一上学期第一次月考13大压轴考法60题专练（第1~2章）解析版.docx

高一上学期第一次月考13大压轴考法60题专练（第1~2章）

一．集合的表示法（共3小题）

1．（2023秋?徐汇区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则（请用列举法表示）．

【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果，具体过程详见解析．

【解答】解：根据题意，，，则有，

又因为，

即得表示方程实数根的个数，

解这个方程得①，或②

解方程①得，，

解方程②得，若，即或时，方程有两个不等实根分别为，；

若，即或时，方程有且只有一个实根；

若，即时，方程没有实数根．

综上可得，当或时，；

当或时，；

当时，

所以（1）当时，，即得，

此时可得；

（2）当时，即得，此时可得或；

故答案为：，．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，以及分类讨论在解题中的使用，属于中档题．

2．（2021秋?黄浦区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则，，（请用列举法表示）

【分析】由于等价于或，或，又由，，且，可得集合要么是单元素集合，要么是三元素集合．

（1）集合是单元素集合，则，（舍去）．方程①有两相等实根，②无实数根，

（2）集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即可得出．

【解答】解：由于等价于或①，或②，

又由，，且，

集合要么是单元素集合，要么是三元素集合，

（1）集合是单元素集合，则，（舍去）．

则方程①有两相等实根，②无实数根，

；

（2）集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，

即，

解得，

综上所述或，

即，，．

故答案为：，，．

【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、方程的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．（2021秋?黄浦区校级月考）对正整数，记，2，3，，，．

（1）用列举法表示集合；

（2）求集合中元素的个数；

（3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”．证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14．

【分析】（1）由题意可得，2，，由，，可得，，，2，，，3，，；

（2）对于集合，有．当时，根据中有3个数与，2，，中的数重复，由此求得集合中元素的个数．

（3）先用反证法证明证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证满足要求，从而求得的最大值．

【解答】解：（1）由题意可得，2，，

由，，

可得，，，2，，，3，，；

（2）对于集合，有．

当时，，2，，7，，2，，，7个数，

当时，，2，，7，对应有7个数，

当时，，2，，7，对应有7个数，

当时，，，1，，2，，3，中有3个数，2，

与时中的数重复，

当时，，2，，7，对应有7个数，

当时，，2，，7，对应有7个数，

当时，，2，，7，对应有7个数，

由此求得集合中元素的个数为．

（3）证明：先证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当时，

可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设和为两个不相交的稀疏集，使．

不妨设，则由于，，即．同理可得，，．又推出，

但，这与为稀疏集相矛盾．

再证满足要求．当时，，，可以分成2个稀疏集的并集．

事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，，

则和都是稀疏集，且．

当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，，，，，

可以分为下列3个稀疏集的并：

，，，，，，．

当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，，

可以分为下列3个稀疏集的并：

，．

最后，集合，，且，4，9中的数的分母都是无理数，

它与中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且．

综上可得，的最大值为14．

【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

二．元素与集合关系的判断（共17小题）

4．（2023秋?杨浦区校级月考）若，则下列结论中正确结论的个数为

①；

②；

③若，，则；

④若，且，则；

⑤存在且，满足．

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断．

【解答】解：若，

对于①，，①正确；

对于②，当中时，，所以，②正确；

对于③，若，，不妨设，

则，，，所以，③正确；

对于④，若，且，不正确，例如，，，④不正确；

对于⑤，存在且，满足，

例如，，，

若，则，

故，⑤正确．

①②③⑤正确．

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合的关系，子集的定义，举反例说明命题错误的方法，是中档题．

5．（2021秋?浦东新区校级月考）以某些整数为元素的集合具有以下性质：

（1）中元素有正数，也有负数；

（2）中元素有奇数，也有偶数；

（3）；

（4）若、，则．

则下列选项哪个是正确的

A．集