6.6直线与圆的方程应用举例 教案.docxVIP

2025年

授课

题目

授课

时长

高等教育出版社《数学》

2021十四五（基础模块下册）

6.6直线与圆的方程应用举例

1课时

选用教材

授课类型

新授课

本课通过数学建模，借助光线反射和台风区域的实际问题，学习解决与直线

方程和圆的方程有关的实际问题，同时帮助学生体会直线和圆的方程在科技和

生产实践等方面的应用.

教学

提示

能用直线方程与圆的方程解决较简单的实际问题，逐步提升数学建模和数

教学

目标

学运算等核心素养.

教学

重点

教学

难点

教学

环节

用数学知识解决实际问题.

建立数学模型，解决实际问题

教师学生设计

活动活动意图

教学内容

从点P(2,3)射出一条光线,经过x轴反射后过点Q(-3,2),提出思考借助

求反射点M的坐标.

问题

直线

在科

技领

域中

情境

导入

引发分析的应

思考讨论用创

设情

境

解根据光的反射定律可知,点Q关于x轴的对称点

Q’、反射点M、发光点P三点共线,所以点M为直线PQ’

与x轴的交点.

点Q(-3,2)关于x轴的对称点Q’的坐标为(-3,-2),故直

线PQ’的斜率为

讲解理解展示

知识

解决

说明思考问题

的一

探索

新知

3?(?2)

2?(?3)

k=

=1,

般策

故直线PQ’的点斜式方程为y-3=x-2,即y=x+1,直线与x轴展示领会略和

的交点坐标为(-1,0),故反射点M的坐标为(-1,0).

基本

步骤

一艘轮船在沿直线返回

港口的途中,接到气象台的台

风预报,台风中心位于轮船正

西240km处,受影响的范围是

半径为90km的圆形区域.港口

位于台风中心正北120km处,

如果这艘轮船仍沿原航线航

行,是否会受到台风的影响?

提出思考关注

问题

数学

知识

在实

际中

情境

导入

引发分析的应

思考讨论

用

1

分析这个实际问题可转化为数学问题:若轮船不改变讲解理解展示

航线,则需考虑轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、影

响范围为半径的圆的位置关系,相交或相切会受到影响,相

离则不会受到影响.

知识

解决

说明思考问题

解建立直角坐标系，以台风中心为原点，轮船和台风

中心对应位置的连线为x轴,以10km为单位长度.

的一

般策

展示领会略和

基本

步骤

探索

新知

设台风中心、轮船、港口对应位置分别为点O、P、Q，

则它们的坐标分别为O(0,0)、P(24,0)、Q(0,12).设轮船航线

所在直线PQ的斜率为k，则

12?0

0?24

1

k=

=?，

2

由直线的斜截式方程得

1

y=-x+12,即x+2y-24=0.

2

台风影响的区域是以O(0,0)为圆心,r=9为半径的圆形

区域.因为圆心O(0,0)到直线PQ的距离为

1×0+2×0?2424

d=

=

9，

1

2

+22

5

即dr,所以轮船航线所在直线与以台风中心为圆心,90km

为半径的圆相离,轮船可沿原航线航行,不会受到台风影响.

练习6.6

提问思考及时

掌握

1.从点P(1,4)射出一条光线,经过x轴反射后过点

Q(-4,2),求反射点M的坐标.

学生

巩固

练习

2.我国的赵州桥是世界上现存年代最久远、跨度最大、

保存最完整单孔坦弧敞肩石拱桥,它的跨度是37.02m,圆拱

高约7.2m,求圆拱所在圆的方程.

巡视动手掌握

求解情况

查漏

3.某圆拱桥的跨度是20m，圆拱高4m，现有宽10m的

指导交流补缺

船,水面以上高3m,船能否从桥下通过?

引导回忆培养

学生

归纳

总结

提问反思总结

学习

过程

能力

说明记录继续

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；

2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

布置

作业

探究

延伸

学习

2