高一上学期期中考试16大压轴考法40题专练（第1~4章）解析版.docx

高一上学期期中考试16大压轴考法40题专练（第1~4章）

一．集合的表示法（共1小题）

1．（2022秋?黄浦区校级期中）对正整数，记，2，3，，，．

（1）用列举法表示集合；

（2）求集合中元素的个数；

（3）若集合中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称为“稀疏集”．已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值．

【分析】（1）结合集合的性质，利用列举法求出集合；

（2）结合集合的性质，利用分类讨论思想和列举法，求出集合中元素的个数；

（3）根据定义，首先证明时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并集，由此求出的最大值．

【解答】解：（1），2，，

．

（2）取中每一个值时，中都有7个元素．

当时，中的元素为1，2，3，4，5，6，7，共7个；

当，3，5，6，7时，中的元素为无理数，且互不相同；

当时，中的元素为1，2，3，，其中1，2，3为重复出现元素，

综上，中共有个元素．

（3）假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并集，

设，为不相交的稀疏集，使，

设，由题意得，则，即，

同理，，，

又推得，但，与为稀疏集矛盾，

时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，，

若，则时，不能分成两个稀疏集的并集，

事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，，

则，为稀疏集，且，

当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合，

可分成下面两个稀疏集：，，

当时，集合中除正整数外剩下的数组成集合，

可分成下面两个稀疏集：，，

集合，且，4，中的数均为无理数，

它与中的任何其它数之和都不是整数，

则把集合，且，4，中的元素任意分成两个不相交的集合的并集均可，

令稀疏集为与，

令，，

和是不相交的稀疏集，且，

综上，所求的最大值为14．

【点评】本题考查涉及求符合某个条件的集合元素个数问题、集合中元素的互异性、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

二．元素与集合关系的判断（共11小题）

2．（2021秋?嘉定区校级期中）对于数集，，，，，，其中，，定义点集，，若对于任意，，存在，，使得，则称集合具有性质．则下列命题中为真命题的是①②③．

①，1，具有性质；

②若集合具有性质，则；

③集合具有性质，若，则．

【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解．

【解答】解：因为，1，，所以，，，，，，，，，

根据集合具有性质的定义，对于任意，

若，，则或，，，或，，，

若，取，，则；

若，，，取，，则；

若，，，取，，则；

若，有一个为负数，则或，

若，则取，，则；

若，则取，，则；

故①正确；

对于任意，，存在，，使得

取，，存在，使得，所以，

不妨设，，所以若集合具有性质，则，故②正确；

③假设，令，则存在，使得，

同②得，中必有一个数为，

若，则，于是，矛盾，

若，则，于是，也矛盾，

所以，又由②得，所以，所以，故③正确，

故真命题是①②③正确．

故答案为：①②③．

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，命题真假的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．

3．（2022秋?浦东新区校级期中）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是1或．

【分析】时，当时，；当时，；当时，，当时，，从而，解得；当时，当，时，则，．当，，当时，，当时，，即，当时，，当时，，从而，解得．当时，无解．

【解答】解：当时，当，时，则，，

当，时，则，，

即当时，；当时，，即；

当时，，当时，，即，

，解得．

当时，当，时，则，．

当，，则，，

即当时，，当时，，即，

即当时，，当时，，即，

，解得．

当时，同理可得无解．

综上，的值为1或．

故答案为：1或．

【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

4．（2023秋?徐汇区校级期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．

（1）直接写出中所有元素之积的所有可能值；

（2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；

（3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．

【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以，，的形式，三个数为一组出现，从而可得结论；

（2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以，，，的形式，四个数为一组出现，从而可得结论；

（3）由（1）（2）可得集合，的元素个数分别为3和4为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值．

【解答】解：（1）非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，

，，又，

则集合中的元素是以，，的形式，三个数为一组出现，

组和组不相交，且0，，

又，则中所在元素之积的所有可能值为．

（2）非空实数集满足：任意，均有，且，

，且，又，

则集合中的元素是以，的形式，