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函数单调性课件ppt优质课完整版x
函数单调性基本概念
一元函数单调性判定方法
多元函数单调性判定方法
函数单调性在不等式证明中应用
函数单调性在极值问题中应用
函数单调性在优化问题中应用
总结回顾与拓展延伸
函数单调性基本概念
01
单调递减
对于函数$f(x)$，若在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1x_2$），都有$f(x_1)geqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该定义域内单调递减。
单调递增
对于函数$f(x)$，若在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1x_2$），都有$f(x_1)leqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该定义域内单调递增。
严格单调递增
01
对于函数$f(x)$，若在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1x_2$），都有$f(x_1)f(x_2)$，则称函数$f(x)$在该定义域内严格单调递增。
严格单调递减
02
对于函数$f(x)$，若在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1x_2$），都有$f(x_1)f(x_2)$，则称函数$f(x)$在该定义域内严格单调递减。
非严格单调
03
若函数在某区间内既非严格单调递增也非严格单调递减，则称该函数在该区间内非严格单调。
导数法
通过求导判断函数的单调性。若函数在某区间内可导，且其导数在该区间内恒大于等于0（或恒小于等于0），则该函数在该区间内单调递增（或递减）。
差分法
通过比较函数在相邻两点的函数值差来判断函数的单调性。若对于任意相邻两点，函数值差恒大于等于0（或恒小于等于0），则该函数在该区间内单调递增（或递减）。
图像法
通过观察函数图像来判断函数的单调性。若函数图像在某区间内呈现上升（或下降）趋势，则该函数在该区间内单调递增（或递减）。
一元函数单调性判定方法
02
01
求导数
对函数求导，得到导函数。
02
判断导函数正负
通过导函数的正负判断原函数的单调性。
03
结论
若在某区间内导函数大于0，则原函数在此区间内单调递增；若导函数小于0，则原函数在此区间内单调递减。
取差分
01
在函数定义域内任取两点，计算函数值之差。
02
判断差分正负
通过差分的正负判断函数的单调性。
03
结论
若在某区间内任意两点的函数值之差大于0，则函数在此区间内单调递增；若差分小于0，则函数在此区间内单调递减。
绘制函数图像
通过描点法或借助计算机绘制出函数的图像。
观察图像走势
通过观察图像在定义域内的走势来判断函数的单调性。
结论
若图像在某区间内呈上升趋势，则函数在此区间内单调递增；若图像呈下降趋势，则函数在此区间内单调递减。
多元函数单调性判定方法
03
偏导数定义及计算
偏导数反映了多元函数在某一方向上的变化率，通过求偏导数可以判断函数在该方向上的单调性。
1
2
3
方向导数表示多元函数在某一点沿某一方向的变化率，通过求方向导数可以判断函数在该点沿该方向的单调性。
方向导数定义及计算
当方向导数大于0时，函数在该点沿该方向单调增加；当方向导数小于0时，函数在该点沿该方向单调减少。
方向导数与函数单调性关系
通过具体实例，展示如何利用方向导数法判断多元函数的单调性。
方向导数法应用举例
梯度向量是多元函数中各偏导数的向量组合，表示函数在该点处的最大变化率和方向。
梯度向量定义及计算
当梯度向量大于0时，函数在该点处沿梯度方向单调增加；当梯度向量小于0时，函数在该点处沿梯度方向单调减少。
梯度向量与函数单调性关系
通过具体实例，展示如何利用梯度向量法判断多元函数的单调性。
梯度向量法应用举例
函数单调性在不等式证明中应用
04
构造不等式
根据题目要求，构造需要证明的不等式，并将其转化为函数形式。
确定函数单调性
通过求导或差分等方法，确定函数在给定区间内的单调性。
应用单调性
利用函数的单调性，对不等式进行变形和推导，从而证明不等式。
03
应用单调性证明不等式
利用辅助函数的单调性，对原不等式进行变形和推导，从而证明不等式。
01
构造辅助函数
根据题目要求，构造一个与原不等式相关的辅助函数。
02
确定辅助函数单调性
通过求导或差分等方法，确定辅助函数在给定区间内的单调性。
选取具有代表性的例题，详细解析解题过程，展示如何利用函数单调性证明不等式。
在解析典型例题的基础上，进一步拓展解题思路和方法，提高学生的解题能力和思维水平。例如，可以引导学生思考如何将复杂的不等式问题转化为简单的函数问题，或者如何利用函数的性质对不等式进行变形和推导等。
典型例题解析
思路拓展
函数单调性在极值问题中应用
05
通过求导判断函数的单调性，确定函数的单调增区间和单调减区间。
确定函数单调区间
在单调性发生改变的点（即导数为零的点）
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