第09讲 函数的概念及其表示（思维导图+4知识点+8考点+过关检测）（原卷版）.docx

第09讲函数的概念及其表示

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；

2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；

3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；

4．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

5．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.

知识点1函数的概念

1、函数的定义

设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．

（1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；

（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；

（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；

（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B．

3、函数的三要素

（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围；

（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方．

（3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值．

4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．

知识点2求函数定义域的依据

1、分式中分母不能为零；

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中；

奇次方根的被开方数取全体实数，即中，；

3、零次幂的底数不能为零，即中；

4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；

5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

知识点3函数的表示法

1、函数的表示法

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．

2、描点法作函数图象

（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；

（2）描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；

（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．

知识点4分段函数

1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

3、分段函数图象的画法

（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．

（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．

知识点5函数解析式的求法

1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．

（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．

2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题．

（1）先令，注意分析的取值范围；

（2）反解出x，即用含的代数式表示x；

（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得．

3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．

4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式．

例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，

可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出．

考点一：对函数概念的理解

例1．（23-24高一上·河南濮阳·月考）下图中可表示函数的图象是（????）

A．B．C．D．

【变式1-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（????）

A．B．C．D．

【变式1-2】（23-24