清单10 等差数列、等比数列基本量（考点清单，知识导图 2个考点清单 5题型解读 变式训练）（原卷版）.docx

清单10等差数列、等比数列基本量（2个考点梳理+5题型解读+变式训练）

【清单01】等差数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d，（n≥2，n∈N），

那么这个数列就叫做等差数列．

⑵等差中项：若三数成等差数列

⑶通项公式：

或

⑷前项和公式：

⑸常用性质：

①若，则；

②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；

③数列（为常数）仍为等差数列；

④若、是等差数列，则、（、是非零常数）、、，…也成等差数列．

⑤单调性：的公差为，则：

ⅰ）为递增数列；

ⅱ）为递减数列；

ⅲ）为常数列；

⑥数列{}为等差数列（p，q是常数）

⑦若等差数列的前项和，则、、…是等差数列．

【清单02】等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．

⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）．反之不一定成立．

⑶通项公式：

⑷前项和公式：

⑸常用性质

①若，则；

②为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）

③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；

④若是等比数列，则

是等比数列，公比依次是

⑤单调性：

为递增数列；为递减数列；

为常数列；

为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列．

⑦若等比数列的前项和，则、、…是等比数列．

考点题型1：等差数列及其性质

【典例1-1】（2024·高二·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（????）

A．5050 B．10010 C．10100 D．11000

【典例1-2】（2024·高二·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（????）

A．5 B．4 C．3 D．2

【变式1-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（????）

A．20 B．15 C．10 D．5

【变式1-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（????）

??

A．60 B．72 C．76 D．80

【变式1-3】（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（????）

A． B．1 C． D．2

【变式1-4】（2024·高二·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（）

A． B． C． D．

【变式1-5】（2024·高二·河南信阳·期末）数列满足，已知，则

的前19项和（????）

A．0 B．8 C．10 D．19

考点题型2：等比数列及其性质

【典例2-1】（2024·高二·青海·期末）在等比数列中，，，则（???）

A．64 B．128 C． D．

【典例2-2】（2024·高二·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（????）

A． B．

C． D．

【变式2-1】（2024·高二·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）数列满足，则数列的前8项和为（??????）.

A．63 B．127 C．255 D．256

【变式2-3】（2024·高二·云南保山·期末）设等比数列的前项的和为，若，则的近似值为（????）

A．4 B．3 C．2 D．

【变式2-4】（2024·高二·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则

（????）

A． B．

C． D．

考点题型3：等差等比数列的证明

【典例3-1】（2024·高二·福建三明·期末）某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，…

(1)写出，，，并证明数列是等比数列；

(2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

【典例3-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中．

(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和

【变式3-1】（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满足．

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)证明：

【变式3-2】（2024·高二·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足.

(1)证明：是等差数列；

(2)记，数列的前项和为，求.

【变式3-3】（2024·高二·广东广州·期末