实战演练12 排列组合的常见考法技巧（7大常考点归纳）--备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）原卷版.docx

实战演练12排列组合的常见考法技巧

①特殊元素（位置）法

②捆绑法

③插空法

④倍缩法

⑤排数问题

⑥分组分配问题

⑦涂色问题

一、排列组合中常见问题及其技巧

1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法

3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．

4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．

(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：

①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：

①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；

②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；

③有限制条件的分配问题，采用分类求解．

5.涂色问题常用方法

（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；

（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；

（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.

二、方法技巧分类

①特殊元素（位置）法

对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。

②捆绑法

捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.

③插空法

插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.

④倍缩法

部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.

⑤排数问题

对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.

⑥分组、分配问题

①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．

②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．

③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

⑦涂色问题

解决涂色问题的一般思路

(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．

(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．

(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题

①特殊元素（位置）法

一、单选题

1．（2024·广东佛山·二模）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（????）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（????）

A．240 B．720 C．432 D．216

3．（2024·全国·模拟预测）中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（????）

A．6种 B．12种 C．24种 D．48种

4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（???）

A． B． C． D．

5．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不