拓展01集合新定义压轴题训练（原卷版）.docx

拓展01集合新定义压轴题训练

1．如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群.

（1）封闭性，即对于任意的，有；

（2）结合律，即对于任意的，有；

（3）对于任意的，方程与在中都有解．

例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解.

以下关于“群”的真命题有（????）

①自然数集关于自然数的加法（）构成群；

②有理数集关于有理数的乘法（）构成群；

③平面向量集关于向量的数量积（）构成群；

④复数集关于复数的加法（）构成群.

A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.

2．如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（???）

A．7个 B．9个 C．10个 D．14个

3．对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（????）

A．若，则 B．

C． D．

4．（多选）已知集合，定义，则下列命题正确的是（????）

A．若，则与的全部元素之和等于3874

B．若表示实数集，表示正实数集，则

C．若表示实数集，则

D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域

5．已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为．

6．已知非空集合A，B满足以下两个条件：

（i），；

（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，

则有序集合对的个数为.

7．对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”.

(1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）；

(2)若，且是“对称的”，求的值；

(3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：.

8．已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．

(1)求元素个数最小的数环；

(2)证明：记，证明：是数域；

(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．

9．设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合.

(1)设，若具有性质，写出一个及相应的；

(2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由.

10．设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M??②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M??④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.

(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；

(2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；

(3)设，证明A是数域.

11．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．

(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．

(2)若．证明：A不可能具有性质．

(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．

12．设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：

①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.

(1)若集合，求的“集”；

(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；

(3)若存在“集”，且，求的最大值.