第一章-函数、极限与连续.docVIP

DATE\@M/d/yyyy2/16/2007高等数学第一章函数与极限PAGE16

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高等数学讲稿

狭义的高等数学是由微积分、微分方程和无穷级数组成的。其中微积分(或者称数学分析)是高等数学的重要组成部分，是介于自然科学与人文科学之间的数学的一个重要的分支学科，是人类历史上经历2500多年之久人类思维和智力奋斗的结晶与成果。基于它深深根植于人类活动的众多领域，于是也就历史地奠定了它在社会发展和人类进步中强力地位。微积分研究的内容属于高等数学的范畴。高等数学与初等数学的本质区别就在于：前者研究的是变量，研究的方法是动的、联系的和辩证的；而后者研究的是常量，研究的方法是静止的、孤立的。

微积分在形成目前这样一套完整理论的过程中，期间克服了多次危机(著名的有三次)，经历了很多磨难。微积分理论建立和完善的过程，也是促进人类文明和社会进步的过程。而生产力的发展和工程科技中的技术难题也是历代科学家在当时的历史条件下推进微积分理论发展和完善的基本动力。其中对微积分理论发展影响较大的问题主要是以下四个方面：一是物理问题——求物体的瞬时速度，就是说怎样解决在时间和距离都是0时的速度、加速度问题；二是几何问题——求任意曲线在某点处的切线。古希腊人已知的圆锥曲线的切线定义已经不适用17世纪的复杂曲线；三是求建模函数的最大值最小值问题。弹道学计算炮弹的射程，天文学计算行星和太阳的最近、最远距离等都是要求最大值最小值问题；四是求积累问题，求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心等，这些问题在古希腊已开始研究，但他们的方法不具有一般性。

对微积分的学习研究，我们是从极限——微分——积分的基本顺序展开的。因为，微积分研究的对象是变量、是函数，微分学、积分学的理论都是通过极限的理论作为基础和工具进行研究和建立的。但是，在微积分理论发展完善的历程中，却是戏剧性的和上述的顺序相反，这也是在谈微积分简史时为什么先谈积分学，再谈微分学和极限，其原因就在于此。

微积分的主要课题是研究变量的变化形态，为了利用变量的变化趋势、变化速度以及变化的积累效应等要素刻画变化过程的特征，人们提出并发展了极限的理论和方法。实际上，导数是一类特殊的极限，定积分又是另一类型的极限，极限的理论和方法构成了整个微积分的基础。我们就从高等数学研究的对象——函数，和其基础知识——极限，谈起。因此我们的第一章就是

函数与极限

客观世界处在永恒的运动、发展和变化中。对各种变化过程和变化过程中的量与量的依赖关系的研究，产生了函数与函数极限的概念。函数概念就是对运动过程中量与量的依赖关系的抽象描述，是刻划运动变化中变量之间相依关系的数学模型。并且，函数概念本身也在不断发展中。

极限是刻划变化过程中变量的变化趋势的数学模型。在中学数学里，通常突出的是极限的描述性定义。微积分则必须强调精确的、定量的极限定义。

本章将介绍函数与极限的基本概念、性质和运算，并利用极限描述函数的连续性。连续函数是最常见的一类函数，它具有一系列很好的性质和基本运算，微分理论将以连续函数为主要对象。

下面我们首先介绍函数的定义、性质及表示方法。?

§1函数

一、变量与区间

1、常量与变量

我们生活在永恒运动着的客观世界中，变化无处不在。诸如行星围绕太阳转动时相对位置的改变；城市人口数逐年增减；转炉中钢水温度的升降；流水线上完成产品的多少；国际贸易中逆差的变化…，他们都可以用数学上的变量来描述。（略）

2、区间与邻域

中学学过区间的概念，如有限区间：闭区间[]={}，开区间()={}，半开半闭区间[a,b]等；还有无限区间：(a,+∞)={x│ax}等。

注意∞只是符号不是数，+∞表示沿x轴正方向可以无限变大，－∞表示沿x轴负方向可以无限变小（或说其绝对值可无限变大）。

今后常用到形如（）的开区间，称为点0的邻域，简记为,其中称为此邻域的中心，称为此邻域的半径，于是有

（。）（?

（。）

（?）

Ox0－?x0x0+?Ox0－?x0x0+?

有时还用到去心邻域，它的记法和定义是