专题1.3 基本不等式（十大题型）（解析版）.docx

专题1.3基本不等式

题型一

（配凑法）对勾型

题型六

“1”的代换(提供“1”及不提供“1”)

题型二

“和定求积”型

题型七

“1”的代换(需修改)

题型三

“积定求和”型

题型八

有和有积型

题型四

商式型

题型九

两次基本不等式

题型五

消元法

题型十

恒成立问题

知识点1基本不等式

1.基本不等式：（一正二定三相等）

（1）基本不等式成立的条件：.

（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．

2.几个重要不等式

1. 2.

3. 4.

3.利用基本不等式求最值问题

（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)

（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

题型一（配凑法）对勾型

例1．若，则的最小值是（????）

A． B． C．4 D．2

【答案】C

【详解】因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：C

例2．已知，则的最小值为．

【答案】4

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：4

练习1．已知．则“且”是“”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当且时，，所以，当且仅当，即时取等号，

所以由且可以得出，

显然，当，有成立，但得不出且，

所以“且”是“”的充分而不必要条件，

故选：A.

练习2．已知函数，则当时，有（????）

A．最大值 B．最小值

C．最大值 D．最小值

【答案】B

【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.

故选：B.

练习3．下列不等式正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确；

对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误.

故选：C

练习4．已知，则当时，取最小值为．

【答案】514

【详解】因为，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，取最小值为.

故答案为：；.

练习5．已知，则的最小值为（????）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】D

【详解】

由于，所以，

由,

（当且仅当时取等号），可得的最小值为3，

故选：D．

题型二“和定求积”型

例3．若，则的最值是，此时，.

【答案】大8199

【详解】因x0，y0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时.

故答案为：大；81；9；9.

例4．若正数满足，则的最大值为（????）

A．6 B．9 C． D．

【答案】C

【详解】解：因为，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：C．

练习1．若正数，满足，则的最小值是（????）

A．10 B．20 C．100 D．200

【答案】B

【详解】由题意得，当且仅当时，等号成立，

故的最小值是20．

故选：B

练习2．若且，若的最大值为，则正常数（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】，当且仅当时，等号成立，

则，故.

故选：B.

练习3．若，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由已知，当时，，

，

当且仅当时，等号成立，

故“”是“”的充分条件；

当时，，此时，

故“”不是“”的必要条件；

即“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

练习4．若，，且，则的最大值是（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当.

故选：B.

练习5．已知，则的最大值是（）

A． B．3 C．1 D．6

【答案】B

【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意.

故选：B.

题型三“积定求和”型

例5．若实数，满足，则的最小值为（????）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【详解】，

当且仅当时，等号成立.

故选：D.

例6．若正数a，b满足，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【详解】正数a，b满足，则，

当且仅当时取等号，

所以当时，取得最小值8.

故选：C

练习1．已知直角三角形的面积为1，则关于该三角形的斜边，正确的结论是（????）

A．最小值为2 B．最大值为2

C．最小值为 D．最大值为

【答案】A

【详解】设直角三角形的两直角边分别为，则，

所以斜边，

当且仅当时等号成立.

故选：A

练习2．已知，，且，则的最小值为（）

A．5