8.4乘法公式 （寒假预习讲义）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册.docx

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2024-2025学年苏科版数学七年级下册

8.4乘法公式

（寒假预习讲义）

【知识点一】完全平方公式

完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．

完全平方公式有以下几个特征：

①左边是两个数的和的平方；

②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．

【典型例题】

【例题1】若二次三项式为完全平方式，则的值为

A． B．2 C． D．1

【例题2】若整式是完全平方式，下列不满足要求的是（????）

A． B． C． D．

【例题3】若，则代数式的值是．

【例题4】计算：

（1） （2）

【例题5】已知，，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【例题6】利用我们学过的完全平方公式：，可以导出下面这个等式：。该等式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐性、简洁美．

（1）请尝试把上面等式从左到右进行推导，验证其正确性；

（2）利用上面等式进行计算：．

【知识点二】平方差公式

平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．

【典型例题】

【例题1】下列计算能用平方差公式的是（?????）

A． B．

C． D．（）（）

【例题2】已知，则的值为（????）

A．13 B．8 C．3 D．5

【例题3】若，则

A．3 B．6 C． D．

【例题4】按照如图所示的程序计算，如开始输入的值为，则最后输出的结果是．

【例题5】先化简，再求值：，其中m满足

【例题6】（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

【知识点三】乘法公式的运用

【典型例题】

【例题1】下列各式使用乘法公式不正确的是（????）

A． B．

C． D．

【例题2】在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，ab）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，不正确的有（????）

A．a?b2=28；

C．a2+b

【例题3】将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a﹣b）2+2ab

C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）

【例题4】如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．

(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；

(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？

【例题5】如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝，S2＝（只需表示，不必化简）；

（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；

（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2023×2021．

【例题6】乘法公式的探究及应用：

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：

方法1：，方法2：；

（2）观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：．

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知，求的值．

②已知，求的值．