第17讲 导数的综合应用（8类核心考点精讲精练）（原卷版）.docx

第17讲导数的综合应用

（8类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

2024年北京卷，第20题，15分

利用导数研究函数的零点

2023年北京卷，第10题，4分

利用导数证明不等式与数列结合

2022年北京卷，第20题，15分

利用导数证明不等式

2021年北京卷，第15题，5分

利用导数研究函数的零点

2.命题规律及备考策略

【命题规律】导数的综合应用时高考数学重点和热点，几乎每年都会有相关的考题出现，整体难度偏大．

【备考策略】

1.掌握导数的基本原理和计算技巧，能够准确求解各类函数的导数；

2.学会利用导数分析函数的增减性、凹凸性和极值，解决函数性质问题；

3.会将方程、不等式问题转化为求函数最值问题；

4.能够运用导数证明不等式，理解其在数学证明中的重要性．

【命题预测】导数的综合应用题目可能会继续作为高考数学的重点内容之一，可能会更加注重考察学生对导数概念的深入理解和灵活运用能力，包括但不限于函数的零点、不等式的证明以及与其他模块的结合．

知识讲解

知识点1利用导数研究零点

1、函数零点问题常规求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或y=k）在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；

第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数．

2、利用导数确定函数零点的常用方法

（1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；

（2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

3、利用函数的零点求参数范围的方法

（1）分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；

（2）利用函数零点存在定理构造不等式求解；

（3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

4、导函数的零点不可直接求时的应对策略

（1）“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，特殊值的选取应遵循一下原则：

=1\*GB3①当含有的函数中，通常选取，特别的，选当时，来试探；

=2\*GB3②在含有的函数中，通常选取，特别的，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决．

（2）“虚设和代换法”：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：

=1\*GB3①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；

=2\*GB3②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．

知识点2利用导数研究不等式

1、不等式证明的常用思路

（1）移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．

在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)g(x)，

但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．

（3）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（4）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数

（5）双变量不等式的处理策略：

含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，具体转化方法主要有三种：整体代换，分离变量，选取主元.

2、单变量不等式转化

一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），

（2），

（3），

（4），

3、双变量不等式转化

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有成立，故．

考点一、判断或讨论函数零点个数

【典例1】（23-24高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数.

(1)求证：当时，；

(2)求在的零点个数.

【典例2】（23-24高三上·北京·期中）已知函数，是常数.

(1)求函数的图象在点处的切线的方程；

(2)证明函数的图象在直线的下方；

(3)讨论函数零点的个数.

1．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)求出方程的解的个数．

2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数.

(1