第40讲 新定义压轴痛点问题（解析版）.docx

第40讲新定义压轴痛点问题

【典型例题】

例1．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．

(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；

(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；

(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．

【解析】（1）

的定义域为，求导得，直线的斜率为2，

令，解得，不妨设切点，

则点处的切线方程为，即，

点处的切线方程为，即，

所以直线是曲线的“双重切线”.

（2）函数，求导得，

显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，

设切点，则存在，使得，

则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，

因此，消去可得，

令，求导得，

则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，

所以曲线的“双重切线”的方程为.

（3）设对应的切点为，对应的切点为，

由，得，，

由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，

由及余弦函数在上递增知，，

则，

，

因此，又，，

则，同理，

令，求导得，

则在上单调递增，显然，且，

函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，

由，同理可得，而，因此，

于是，即有，

所以，即.

例2．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．

(1)若，用表示；

(2)证明：；

(3)若，，，证明：．

【解析】（1）因为

，

且，

所以，由可得，

所以.

（2）因为，

所以

又因为

所以，

所以.

（3）对于，

因为，

所以，

所以，

所以，

，

所以，

.

例3．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．

(1)试在上给出一个非单射的映射；

(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；

(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．

【解析】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意；

（2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾），

另一方面，若对任意，由可以得到，

我们用反证法证明是单射，

假设不是单射，即存在，有，

又由可以得到，即，这就产生了矛盾，

所以是单射，

综上所述，命题得证；

（3）一方面若是单射，则由可得，

同理存在单射，使得，，有，

另一方面，若存在映射，使对任意，有，

我们用反证法来证明是单射，

若不是单射，即存在，有，

又若，则由题意，这与产生矛盾，

所以此时是单射，

综上所述，命题得证.

例4．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”．

(1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由；

(2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围；

【解析】（1）根据题意，，可得，故是“函数”；

（2）因为为“函数”，所以存在，使，

即，

整理得在有解．

因为，所以，可得，

结合在上恒成立，可得，

综上所述，，即实数的取值范围是.

例5．（2024·河南信阳·一模）定义：已知数列满足．

(1)若，，求，的值；

(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；

(3)若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．

【解析】（1）依题意，，显然；

故；

，

即或，则或．

（2），

对恒成立，

.

，

，

①时,

当,且时,.

的集合为且

②时,

，

，

，

当,且时,.

的集合为且

③且时,的集合为

（3），；

设，

①若，则，，

对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数），

当时，；

②若，

ⅰ）若S为有限集，设，，

对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数），

当时，；

ⅱ）若S为无限集，设，，

若，则，又，矛盾；

故；

记；

当时，，，；

因为，所以；

当时，，，

因为，故；

因为，故，

故对任意，取，当时，；

综上所述，不存在实数A，使得．

综上所述，不存在实数A，使得对任意的正整数n，都有．

例6．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．

(1)求数列的前项和；

(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明：

①对任意且，存在“-数列”，使得成立；

②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．

【解析】（1）

，

各项均不为0且递增，

，

，

，

，

化简得，

，

，

，

，

，

为等差数列，

，

，

；

（2）①证明：设“G-数列”公比为，且，

由题意，只需证存在对且成立，

即成立，

设，则，

令，解得，

当时，单调递增，

当时，单调递减，