2025年中考数学二次函数压轴题专题练习12直角三角形存在性问题.pdf

专题12直角三角形存在性问题

A11B53x

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（，），点坐标为（，），在

轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

一、几何法：两线一圆得坐标

1∠AAABxC

（）若为直角，过点作的垂线，与轴的交点即为所求点；

2∠BBABxC

（）若为直角，过点作的垂线，与轴的交点即为所求点；

3∠CABxC

（）若为直角，以为直径作圆，与轴的交点即为所求点．（直径所对的圆周角

为直角）

二、构造三垂直：

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构造三垂直步骤：

①过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

三、代数法：表示线段构勾股

1Cm0A11B53

（）表示点：设1坐标为（，），又（，）、（，）；

22222

（）表示线段：AB=25，AC1=m-1+1，BC1=m-5+3；

222

3ÐBACAB+AC=BC

（）分类讨论：当1为直角时，11；

22223

420+m-1+1=m-5+3m=

（）代入得方程：，解得：．

2

小结：

1“”

几何法：（）两线一圆作出点；

2

（）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．

1ABC

代数法：（）表示点、、坐标；

2ABACBC

（）表示线段、、；

3①AB²+AC²=BC²②AB²+BC²=AC²③AC²+BC²=AB²

（）分类讨论、、；

4

（）代入列方程，求解．

如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相

似，而是全等．

例．（2024•酒泉二模）

1y=ax2+bx+cxA(-1,0)

．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和

B(3，0)yC(0,3)DBC

点两点，与轴交于点．点为直线