第03讲 垂径定理（四类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）.pdf

第03讲垂径定理（七大题型）

学习目标

12

、了解垂径定理的内容及证明；、掌握从垂径定理的推论及证明；

3、学会有关垂径定理的作图；会解有关实际应用题．

一、垂径定理

试卷第1页，共22页

我们得到了圆的一个性质定理：

垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所

对的弧．

“”“

要点：垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径垂直于弦得到平

”

分弦（弧）．

二、垂径定理的推理1

由此归纳得到以下结论：

如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所

试卷第2页，共22页

对的弧，如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．

在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可

知圆心一定在弦的垂直平分线上．于是得到：

如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．

三、垂径定理的推理2

“”“”27-22ADBD

问题中的条件有弧相等，可知它们所对的弦相等，如图，分别联结、，得

AD=BD△DAB“”1

，则是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一性质，（）可由

AM=BMCD⊥AB2CDLABAM=BMCD

，推出；（）可由，推出．这时还可以进一步看到，垂

ABCD0

直平分弦，因此一定经过圆心．

由此得到以下结论：

如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．

如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条

弦．

总结上面的讨论，可以概括为：

“”“”“”“”

在圆中，对于某条直线经过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的弧这四组关系

中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立，

四、垂径定理的有关作图

试卷第3页，共22页

1

【即学即练】

1．如图，AB是eO的直径，弦CD^AB于点E，若OE=3，CD=8．求eO的半径．

2

【即学即练】

2．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为cm．

3

【即学即练】

3⊙O84OA=

．在中，弦AB的长为，它所对应的弦心距为，那么半径．

4

【即学即练】

4eOCD^ABEOC=5cmCD=6cmAE

．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为

（）

A